Forum:  Kategorientheorie
Thema: Kategorientheorie: warum Menge statt Klasse?
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 586
Aus: Erde
Themenstart: 2019-11-16 22:46

Hallo,
in der Kategorientheorie wird manchmal die Morphismenmenge zwischen zwei Objekte als Menge gefordert und nicht als Klasse (etwa wie im Buch von M. Brandenburg). Hat das wesentliche Gründe? Ich kenne mich noch sehr wenig mit Kategorientheorie aus und frage deshalb.

Red_



tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1628
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-16 23:31
\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ein Nutzen ist, dass man für Kategorien $\mathcal C$ und Objekte $X\in\mathcal C$ die Abbildung $\mathcal C(X,-)$, die Objekte $Y \in \mathcal C$ auf die Morphismenmenge $\mathcal C(X,Y)$ schickt, als Objekt-Abbildungs-Teil eines Funktors $\mathcal C \to \mathbf{Set}$ sehen kann und $\mathcal C(-,-)$ als Objekt-Abbildungs-Teil eines Funktors $\mathcal C^\text{op}\times \mathcal C \to \mathbf{Set}$.
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4255
Aus: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17 16:37

Wenn die Morphismen $\mathrm{Hom}(X,Y)$ immer eine Menge bilden, spricht man von einer lokal-kleinen Kategorie (locally small category). Was tactac geschrieben hat, lässt sich dann auch so ausdrücken, dass lokal-kleine Kategorien gerade die $\mathbf{Set}$-angereicherten Kategorien sind. Man ist also näher beim Standard-Beispiel $\mathbf{Set}$, und tatsächlich ist das Yoneda-Lemma ein Beleg dafür, dass sich viele Grundlagen der Kategorientheorie auf $\mathbf{Set}$ zurückführen lassen (zum Beispiel ist $f : X \to Y$ genau dann ein Isomorphismus in einer Kategorie, wenn für alle Objekte $T$ die Abbildung $f^* : \mathrm{Hom}(Y,T) \to \mathrm{Hom}(X,T)$ ein Isomorphismus in $\mathbf{Set}$ ist). Ein anderer wesentlicher Grund ist, dass 99% der Kategorien aus der Praxis lokal-klein sind. Weil die Kategorientheorie wie jede andere mathematische Theorie dazu da ist, um (innerhalb oder außerhalb der Mathematik) angewendet zu werden, bietet es sich daher an, Kategorien vornherein als lokal-klein anzunehmen. Im Buch von M. Brandenburg wird das auch explizit als Motivation genannt (Bemerkung 2.2.6). Einige Beispiele für Kategorien, die nicht lokal-klein sind, stehen bei MO/3278.


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 586
Aus: Erde
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 16:59

Ah, vielen Dank!




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Druckdatum: 2020-01-22 05:32