Forum:  Kongruenzen
Thema: Kongruenz von Quadratzahlen mod 7
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Bfg97
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Themenstart: 2019-11-19 18:38

Hallo,
Ich möchte beweisen, dass gilt

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Ich habe bisher leider keine Idee, wie ich dies bewerkstelligen könnte und es nur mit einem Programm versucht, das bis i=1000000 prüft, ob es eine Zahl gibt, die das Gegenteil der Aussage erfüllt, welche es aber nicht gibt.


Diophant
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 18:58
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich nehme jetzt mal an, dass \(i\in\IZ\) gemeint ist (was auch sonst  😄 ).

Untersuche doch mal die aufsteigende Folge der Quadratzahlen daraufhin, in welchen Restklassen modulo 7 sie liegen. Dass es da ein Muster gibt, das sich nach 7 Quadratzahlen wiederholt, das zu zeigen ist ein Einzeiler (Stichwort Binomische Formel...).

Für einen solchen Zyklus rechnet man die Kongruenzen dann am besten einzeln nach. Dann noch 1 dazuaddiert ergibt deine obige Behauptung nebst der Tatsache, dass auch \((1+i^2)\operatorname{mod}7\neq 4\) gilt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Bfg97
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-19 18:58 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

ich nehme jetzt mal an, dass \(i\in\IZ\) gemeint ist (was auch sonst  😄 ).

Untersuche doch mal die aufsteigende Folge der Quadratzahlen daraufhin, in welchen Restklassen modulo 7 sie liegen. Dass es da ein Muster gibt, das sich nach 7 Quadratzahlen wiederholt, das zu zeigen ein Einzeiler (Stichwort Binomische Formel...).

Für einen solchen Zyklus rechnet man die Kongruenzen dann am besten einzeln nach. Dann noch 1 dazuaddiert ergibt deine obige Behauptung nebst der Tatsache, dass auch \((1+i^2)\operatorname{mod}7\neq 4\) gilt.


Gruß, Diophant

Ich habe jetzt die Quadratzahlen von 1 bis 15 modulo 7 betrachtet und dabei die Reste 1,4,2,2,4,1,0 erhalten, die sich wiederholen. Wie kann man beweisen, dass sich dieses Muster immer weiter wiederholt? Muss ich dafür (7n+1)^2, (7n+2)^2 bis (7n+6)^2 betrachten?
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 19:11
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Liegt dieses Quadrat jeweils in der gleichen Restklasse mod 7 wie \(i^2\) oder in einer anderen?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Bfg97
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:15
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2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?


Gruß, Diophant

Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-19 19:25
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-11-19 19:15 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?


Gruß, Diophant

Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2

Genau. Kurz ausgedrückt: \(7\mid 14i+49\Rightarrow i^2\mod 7\equiv (i+7)^2\mod 7\).

Wenn man es ganz überkorrekt machen will, kann man (für \(n\in\IN\)) auch das Binom \((i+7n)^2=i^2+14in+49n^2\) betrachten.

Ist dir der Rest dann klar?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Bfg97
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-19 19:25 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

2019-11-19 19:15 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?


Gruß, Diophant

Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2

Genau. Kurz ausgedrückt: \(7\mid 14i+49\Rightarrow i^2\mod 7\equiv (i+7)^2\mod 7\).

Wenn man es ganz überkorrekt machen will, kann man (für \(n\in\IN\)) auch das Binom \((i+7n)^2=i^2+14in+49n^2\) betrachten.

Ist dir der Rest dann klar?


Gruß, Diophant

Denke schon. Da immer der Rest i^2 bleibt, was bei mod 7 immer 0,1,2,4 ergibt. Nun kann man i^2+1 bestimmen, was dann den möglichen Rest auf 1,3,5 ändert.

Vielen Dank, Diophant :D
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-19 20:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

nur der Vollständigkeit halber: die vorkommenden Restklassen für \((1+i^2)\mod 7\) sind 1, 2, 3 und 5.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2020-08-13 10:47