Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Folgen in einem normierten Raum
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TotoLaToto
Junior
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 9
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Themenstart: 2019-11-19 21:14

Guten Abend,

ich sitze gerade an dieser Aufgabe und finde irgendwie nicht den richtigen Ansatz.




Ich würde mich freuen wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte 😄

Mfg TotoLaToto


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2435
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 21:20

Hallo,

was ist für die a) denn zu zeigen?
Was hast du bisher probiert?


TotoLaToto
Junior
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 9
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 22:01

Ich meine man soll mit der Definition der Cauchy-Folge zeigen, dass die beiden Folgen gegen den selben Grenzwert laufen?

Muss ehrlich sagen, ich stehe doch etwas auf dem Schlauch wie ich da herangehen soll 😵


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2435
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 22:22

Du kannst dir gerne mal diesen lehrreichen Artikel durchlesen, und sorgfältig studieren:

matheplanet.de/default3.html?article=1805

Deine Aussage wird in dem Artikel zwar nicht bewiesen, lassen sich aber mit genau dieser Methode beweisen.


Ich meine man soll mit der Definition der Cauchy-Folge zeigen, dass die beiden Folgen gegen den selben Grenzwert laufen?

Warum mit der Definition der Cauchy-Folge?
Du möchtest ja zeigen, dass die Folge $(b_k)$ genau den Grenzwert $a$ hat.

Da eignet sich die übliche Definition der Folgenkonvergenz in normierten/metrischen Räumen.

Eine Cauchyfolge bringt dir hier nichts.
Denn Cauchyfolgen müssen im allgemeinen nicht mal konvergieren.
Das gilt nur für vollständige Räume. $X$ ist aber kein Banachraum (vollständiger, normierter Raum).

Wenn du also zeigen könntest, dass $b_k$ eine Cauchyfolge ist, dann würdest du immer noch nicht wissen, ob $b_k$ überhaupt konvergiert und insbesondere was der Grenzwert sein soll.

Um also auf die in dem verlinkten Artikel angesprochene Methode zurückzukommen:

Der erste Schritt ist es, dass du für dich alle relevanten Begriffe klärst.

Das ist hier erstmal nur was $\lim_{k\to\infty} b_k=a$ 'ist'. Also nach Definition gelten muss.

Notiere was zu zeigen ist und was deine Voraussetzungen sind.


TotoLaToto
Junior
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 9
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 23:19

Vielen Dank erstmal für die schnellen Antworten 😄

Ich werde mich direkt mal einlesen, aber wenn es mich nicht täuscht ist Beispiel 9 ja recht ähnlich.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2435
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-20 00:22

Der Beweis von Beispiel 9 ist aber durchaus anspruchsvoller, als die Beweise für deine Aussagen hier.

Wenn du den Beweis nachvollziehst, solltest du aber möglicherweise in der Lage sein die gewünschten Beweise zu führen, denn die Techniken sind die ähnlichen, bloß leichter.




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Druckdatum: 2020-04-02 14:54