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Thema: Konvergenz von Potenzen
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Felix2403
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Themenstart: 2019-12-13 09:17

Hallo liebe Leute,

Unsere erste Übungsaufgabe zu Konvergenz macht mich bereits ratlos:

Sei $a \in \mathbb{R}$ mit $|a| < 1$. Zeige, dass $a^{n} \rightarrow 0$ für $n \rightarrow \infty$ gilt.

Eingeführt zu Konvergenz haben wir die Epsilon-Umgebung.
Damit bin ich das ganze auch mal angegangen:

$\forall \epsilon > 0: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}:n \geq N|a^{n} - 0| < \epsilon$

Wie kann ich das weiterumformen, um irgendwie den Betrag von $a$ ins Spiel zu bekommen und ein $N$ zu finden, ab welchem alle Folgeglieder danach im Epsilon Schlauch liegen ?

Liebe Grüße

Felix


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2758
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13 09:27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

für natürliche Exponenten \(n\) ist ja \(\left|a^n\right|=|a|^n\). Also löst du du die Ungleichung \(|a|^n<\varepsilon\) nach n auf. Da musst du nur ein wenig Obacht geben beim Logarithmieren. Denn da wird die Annahme \(|a|<1\) eine wichtige Rolle spielen...


Gruß, Diophant


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\(\endgroup\)

Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 39
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13 14:47

Hallo Diophant,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

An den $ln$ habe ich ehrlich gesagt gar nicht gedacht, da wir diesen in der Vorlesung noch nicht mal eingeführt haben. Geht das noch auf einem anderen Weg ?

Trotzdem bin ich jetzt mal diesen Weg gegangen:

$|a^{n} - 0| = |a^{n}| = |a|^{n} < \epsilon$

Dies ist äquivalent zu:

$n < \frac{ln(\epsilon)}{ln(|a|)}$

Der $ln$ ist für negative Zahlen nicht definiert, betrachte ich aber den Teil des Betrages, der mir $a < 1$ "gibt", weiß ich aufjedenfall, dass der Bruch negativ sein muss.

Das waren bisher meine Überlegungen. Jedoch komme ich mir jetzt vor wie in einer Sackgasse, da ich so keine Möglichkeit mehr sehe Rückschlüsse auf meine Konvergenz gegen 0 zu ziehen.

Liebe Grüße

Felix

Nachtrag-Idee:

Setze $n_{0} = \frac{ln(\epsilon)}{ln(|a|)}$. Da der Bruch negativ ist, gilt für alle $n \in \mathbb{N}$ $n > n_{0}$. Und da bei $a^{n}$ $n\in \mathbb{N}$ ist, folgt die Konvergenz. Ergibt Sinn oder Schwachsinn ?





qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-13 15:32

2019-12-13 14:47 - Felix2403 in Beitrag No. 2 schreibt:
An den $ln$ habe ich ehrlich gesagt gar nicht gedacht, da wir diesen in der Vorlesung noch nicht mal eingeführt haben. Geht das noch auf einem anderen Weg ?

Hallo Felix2403,

man kann z.B. so vorgehen: Die Folge $(a_n)_n = (a^n)_n$ konvergiert gegen irgendeine Zahl $x \in \mathbb R$, weil... Nun vergleiche die Grenzwerte der beiden Folgen $(a_n)_n$ und $(a_{n+1})_n$.


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 39
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13 15:46

Hey qzwru,

danke für deinen Beitrag.

Ich wurde vorher leider schon von meinem Mathebuch gespoilert, die die Bernoullische Ungleichung für den Beweis angeführt haben und somit habe ich den Beweis, wie er (denke ich) vom Prof gedacht war.

Jedoch würde mich der Ansatz von Diophant noch sehr interessieren und wie mir der ln dabei hilft, damit ich auch mit dieser Idee zu einer Lösung komme.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2758
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-13 16:00
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ok, ich muss dazusagen: für mich ist das hier Hobby und ich bin manchmal etwas unsicher, was wann zur Verfügung steht. Bernoulli geht natürlich auch, ebenso ginge noch ein Beweis durch Widerspruch.

Mit dem Logarithmus (ich bezeichne hier den natürlichen Logarithmus mit \(\log\)) erhalten wir zunächst:

\[|a|^n<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad n\cdot \log|a|<\log(\varepsilon)\]
Im nächsten Schritt müssen wir jedoch beachten, dass auf jeden Fall \(\log|a|\), im Prinzip aber auch \(\log(\varepsilon)\) negativ sind (weil die Argumente kleiner 1 sind). Das war der Sinn meiner Warnung, denn nun müssen wir die Ungleichheit umdrehen und erhalten das gewünschte:

\[n\cdot \log|a|<\log(\varepsilon)\quad\Leftrightarrow\quad n\color{red}>\frac{\log(\varepsilon)}{\log|a|}\]
Wenn man das Konvergenzkriterium nach n auflöst, muss im Erfolgsfall ja immer etwas der Form \(n>f(\varepsilon)\) herauskommen, sonst stünde es im Widerspruch zur Aussage des ganzen: dass es für jedes \(\varepsilon>0\) ein \(N\) gibt usw usf...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 39
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13 16:36

Danke für deine Antwort.

UPS peinlich, ich schreibe es sogar selber, dass der $ln$ negativ ist und drehe dann beim Dividieren das Ungleichzeichen nicht um. Die ganze Aussage kam mir auch schon spanisch vor.

Alles klar, ja dadurch, dass nun $n > ...$ dasteht, ergibt das ganze Sinn.

Vielen Dank.

PS: Das ganze sollte mit $ln$ ja eigtl ganz analog laufen.

Liebe Grüße

Felix


qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 306
Aus:
Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-13 16:41

Hier der Beweis auf den ich dich bringen wollte:

Die Folge $(b_n)_n = (|a|^n)_n$ ist monoton fallend und beschränkt, es existiert also ein $x\in \mathbb R$ sodass $\lim_{n \to \infty} b_n = x$. Da $b_{n+1} = |a|\cdot b_n$ für alle $n\in \mathbb N$ folgt mit den Rechenregeln für Grenzwerte $x = \lim_{n \to \infty} b_{n+1} = |a| \cdot \lim_{n \to \infty} b_{n} = |a|\cdot x$. Da $|a| \neq 1$ folgt $x=0$ und damit auch $\lim_{n \to \infty} a^n =0$.


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11372
Aus: Bayern
Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-13 20:56

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Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14 12:27

Danke ihr beiden für eure Beiträge.

@qzwru ja an so etwas ähnliches hatte ich bereits gedacht, nur hätte ich es für die Aufgabe leider nicht verwenden dürfen, da wir die Grenzwertsätze noch nicht explizit aufgeschrieben haben.

@Wauzi, danke für deinen Vorschlag. Ich werden ihn mir heute mal durch den Kopf gehen lassen.

Liebe Grüße

Felix




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Druckdatum: 2020-02-20 04:04