Forum:  Systeme von DGL
Thema: Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL
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maxmustermann9991
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Themenstart: 2019-12-13 17:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Es soll die Gleichgewichtslösung des autonomen nichtlinearen DGL-Systems gelöst werden.

$$y_1'=(9y_1+9y_2)^3$$ $$y_2'=-4y_1-3y_2-1$$ $$\begin{pmatrix} y_{1_{GG}}\\y_{2_{GG}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ?\\? \end{pmatrix}$$
Und anschließend soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist.

Im Skript finde ich folgenden Ansatz:

1) Bestimmen der Gleichgewichtslösung durch:
\(\vec{y'}=\vec{0}\)
Bestimme \(\vec{y_0}\) mit \(A(\vec{y_0})=\begin{pmatrix} f_1(y_1,y_2)\\f_2(y_1,y_2) \end{pmatrix}=\vec{0}\)

2) Linearisierung der Matrix in der Umgebung der Gleichgewichtslösung:
\(A(\vec{y})\approx A_1(\vec{y_0})\cdot (\vec{y}-\vec{y_0})+A_2(\vec{y})\)

3) Jacobi-Matrix:
\(A_1=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{y_1} & \frac{\partial f_1}{y_2} \\ \frac{\partial f_2}{y_1} & \frac{\partial f_2}{y_2} \end{pmatrix}
\)

4) Eigenwerte \(\lambda_i\) zur Matrix \(A_1\) finden.

5) \(Re\cdotλ_i<0\rightarrow \text{ stabile Lösung }\)
\(Re\cdotλ_i=0\rightarrow \text{ meist stabile Lösung }\)


Nun habe ich allerdings Probleme zu verstehen, wie man mit Schritt 1 schon anfängt.
\(\endgroup\)

haerter
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13 19:15

Hallo,

der erste Schritt bedeutet, dass die rechte Seite gleich Null gesetzt wird und man die Lösungen dieser (nicht)linearen Gleichung bestimmt.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13 19:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Aus \(y_1'=0\) folgt:
$$(9y_1+9y_2)^3=0$$ $$9y_1+9y_2=0$$ $$y_1=-y_2$$
Aus \(y_2'=0\) und \(y_1=-y_2\) folgt:
$$-4y_1-3y_2-1=0$$ $$-4y_1+3y_1-1=0$$ $$-1y_1=1$$ $$y_1=-1$$
Und somit:
$$y_2=1$$
Somit folgt dies:
$$\vec{y}=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$$
Wie sieht der nächste Schritt aus um die Stabilität zu bestimmen?
\(\endgroup\)

haerter
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-13 22:55

Hallo,
wie Du selbst geschrieben hast: Die Jacobi-Matrix an der Stelle (-1,1) auswerten und schauen, wo die Eigenwerte liegen.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14 21:25
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Was sind denn in meiner Aufgabe die Funktionen \(f_1\) und \(f_2\) die ich nach \(y_1\) und \(y_2\) jeweils ableiten muss?
\(\endgroup\)

haerter
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-15 00:23

Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 14:09
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2019-12-15 00:23 - haerter in Beitrag No. 5 schreibt:
Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-4\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-3\)


Folgt für die Jacobi-Matrix:

$$A_1=\begin{pmatrix} 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 & 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$

War das so gemeint oder habe ich hier einen Denkfehler?
\(\endgroup\)

haerter
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Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-16 11:19

Hallo,

ja, das Ergebnis passt, jetzt müsstest Du noch <math>(y_1,y_2)=(-1,1)</math> einsetzen und dann stellt sich leider heraus, dass die Stabilität sich mit der Jacobimatrix alleine hier nicht bestimmen lässt.

Wenn die Aufgabe so gestellt war, wie im Anfangspost dargestellt ("soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist"), dann führt das zu keiner Entscheidung.

Viele Grüße,
haerter




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Druckdatum: 2020-09-19 10:38