Forum:  Determinanten
Thema: Determinante bei komplexer bzw. reeller Transformation.
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Skalhoef
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Themenstart: 2020-01-13 03:52

Hi,

es gelte

$$ \left(\begin{array}{c} \vec{\Psi}^{\prime}  \\ \left(\vec{\Psi}^{\prime}\right)^{*}  \end{array}\right) = A \left(\begin{array}{c} \vec{\Psi} \\ \left(\vec{\Psi}\right)^{*}  \end{array}\right) \, \text{mit } |\det A \, |= x \text{.}
$$
wobei $A \in \mathbb{C}^{2N \times 2N}$, $\vec{\Psi} \in \mathbb{C}^N$ usw.

Folgt dann auch

$$ \left(\begin{array}{c} \text{Re}\, \vec{\Psi}^{\prime}  \\ \text{Im} \,\vec{\Psi}^{\prime}  \end{array}\right) = \widetilde{A} \left(\begin{array}{c} \text{Re}\, \vec{\Psi} \\ \text{Im} \,\vec{\Psi}  \end{array}\right) \, \text{mit } |\det \widetilde{A}\,| = x \, \text{?}
$$
Ich vermute i.A. nicht oder?

Ich freue mich auf Rückmeldung.

Grüße
Skalhoef


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-13 08:47

Hallo,

die zweite Bedingung kann fast immer erfüllt werden, völlig unabhängig von der ersten Bedingung. Solange $(\operatorname{Re} \Psi, \operatorname{Im} \Psi) \neq (0,0)$ gibt, gibt es eine lineare Abbildung, welche diesen Vektor auf $(\operatorname{Re} \Psi', \operatorname{Im} \Psi')$ schickt.

Wenn wir die Darstellungsmatrix betrachten, die von einer Basis mit $(\operatorname{Re} \Psi, \operatorname{Im} \Psi)$ und weiteren Vektoren auf $\mathbb{C}^N$ schickt, so nimmt obige Information nur eine Spalte ein. Mit den restlichen Spalten können wir die Determinante beliebig formen. Wir können also jede Determinante erzeugen. (Mit Basiswechsel kommen wir an die Matrix bzgl. Standardbasen. Das ändert nicht die Determinante der Matrix.)

Wir haben also gezeigt: Seien $x,y$ aus einem $\mathbb{R}$-Vektorraum $V$ mit endlicher Dimension und $x \neq 0$ sowie $r \in \mathbb{R}$. Dann gibt es eine lineare Abbildung $\varphi : V \to V$ mit $\varphi(x) = y$ und $\det(\varphi) = r$.


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-13 21:46

2020-01-13 03:52 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
Ich vermute i.A. nicht oder?

Doch, das gilt ganz allgemein. Am einfachsten siehtst du das, wenn du die Transformationen für zwei beliebige Vektoren $\vec\Psi^{(1)}\!,\vec\Psi^{(2)}\!\in\mathbb C^N$ statt $\vec\Psi$ und $\vec\Psi^*$ sowie$$ \vec\Psi^{({\rm re})}:=\frac12\Bigl(\vec\Psi^{(1)}+\vec\Psi^{(2)}\Bigr)
\;,\quad
\vec\Psi^{({\rm im})}:=\frac1{2i}\Bigl(\vec\Psi^{(1)}-\vec\Psi^{(2)}\Bigr)
$$statt $\operatorname{Re}\vec\Psi$ und $\operatorname{Im}\vec\Psi$ aufschreibst, denn dann wird offensichtlich, dass sich $A$ und $\tilde A$ nur um einen Basiswechsel unterscheiden und somit die gleiche Determinante haben.

--zippy


Skalhoef
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28 01:31

Hallo zippy,

vielen Dank für die Antwort.

2020-01-13 21:46 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
(...) denn dann wird offensichtlich, dass sich $A$ und $\tilde A$ nur um einen Basiswechsel unterscheiden und somit die gleiche Determinante haben. (...)

Irgendwie will der Groschen nicht fallen...
Ich begreife nicht ganz wie man das auf eine Basistransformation zurückführen kann:
Vielleicht vermittele ich kurz meinen Kenntnissstand und möglicherweise kannst du mir dann an gegebener Stelle auf die Sprünge helfen:

Für einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ seien $\mathbb{A} = \{ v_1, \ldots, v_n\}$ und $\mathbb{B} = \{ w_1, \ldots, w_n\}$ als Basen gegeben, s.d. also für $v \in V$ jeweils eine Zerlegung

$$ v = \sum_i \lambda_i v_i = \sum_i \mu_i w_i \text{.}
$$
Weiter definiert man dann Koordinatenabbildungen $p_{\mathbb{A}} : V \rightarrow \mathbb{K}^n$ durch $\sum_i \lambda_i v_i \mapsto p_{\mathbb{A}}(v) := (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)^{T}$ und analog für $p_{\mathbb{B}}$.

Und dann definiert man doch die darstellende Matrix eines Endomorphismus $\varphi$ als

$$ M(\varphi)_{\mathbb{B}}^{\mathbb{A}} := \left(p_{\mathbb{B}} (\varphi(v_1), \ldots, p_{\mathbb{B}} (\varphi(v_n)) \right)
$$
Und ich hätte jetzt gedacht, dass die Matrix $A$ die ich im Themenstart genannt habe einfach die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis (also $\mathbb{A} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und $\mathbb{B} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und ist. (Mit $N$ wie im Themenstart.)

Ich verstehe nicht wie man jetzt $\widetilde{A}$ als darstellende Matrix der gleichen Abbildung bezüglich einer anderen Basis verstehen kann...



Grüße
Skalhoef


zippy
Senior
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28 02:15

2020-01-28 01:31 - Skalhoef in Beitrag No. 3 schreibt:
Und ich hätte jetzt gedacht, dass die Matrix $A$ die ich im Themenstart genannt habe einfach die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis (also $\mathbb{A} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und $\mathbb{B} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und ist. (Mit $N$ wie im Themenstart.)

Das passt aber doch nicht dazu, dass du $A$ im Themenstart als $2N\times2N$-Matrix definiert hast:

2020-01-13 03:52 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
wobei $A \in \mathbb{C}^{2N \times 2N}$, $\vec{\Psi} \in \mathbb{C}^N$

Die $2N\times2N$-Matrix $A$ aus dem Themenstart hängt mit der $N\times N$-Matrix $\underline A$, die durch $\vec\Psi'=\underline A\vec\Psi$ definiert ist, über$$ A=\begin{pmatrix}\underline A&0\\0&\underline A^*\end{pmatrix}
$$zusammen.

Wenn wir die Standardbasis des $\mathbb C^{2N}$ mit $E=(e_1,\ldots,e_N,e_{N+1},\ldots,e_{2N})$ bezeichnen, ist $\tilde A$ die Darstellung von $A$ in der Basis $F=(f_1,\ldots,f_N,f_{N+1},\ldots,f_{2N})$ mit$$ f_1=e_1+e_{N+1},\ldots,f_N=e_N+e_{2N},
f_{N+1}=i(e_1-e_{N+1}),\ldots,f_{2N}=i(e_N-e_{2N})\;.$$




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Druckdatum: 2020-06-05 15:10