Forum:  Lineare DGL 2. Ordnung
Thema: skalare Differentialgleichungen
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nitram999
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Dabei seit: 11.02.2019
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Aus: Würzburg
Themenstart: 2020-02-09 19:07

Hallo zusammen,

ich sitze hier an einer Aufgabe und weiß nicht so genau, wie ich an diese herangehen soll...

Sei I ein offenes Intervall. Wir nehmen an dass die durch

x1(t)=t+1
x2(t)=t-1
x3(t)=1-t^2

definierten Funktionen über I, die in die reellen Zahlen abbilden die skalare DGL

x'' + a1(t)*x' + a0(t)*x = b(t)   (1)

lösen, wobei a0, a1, b stetige Funktionen sind. Man bestimme die Menge aller Lösungen von (1).


Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank schon mal!
nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-09 19:23

Hallo,

kann es sein, dass die DGL
\[x''(t)+a_1(t)\cdot x'(t)+a_0(t)\cdot x(t)=b(t)\] lautet? Ansonsten ist die Darstellung etwas komisch. Wie auch immer. Die DGL ist linear inhomogen. Du hast drei inhomogene Lösungen gegeben.
Es gilt also
\[
\begin{align}
x_1''(t)+a_1(t)\cdot x_1'(t)+a_0(t)\cdot x_1(t)&=b(t)\\
x_2''(t)+a_1(t)\cdot x_2'(t)+a_0(t)\cdot x_2(t)&=b(t)\\
x_3''(t)+a_1(t)\cdot x_3'(t)+a_0(t)\cdot x_3(t)&=b(t)
\end{align}
\] für alle $t\in I$. Konstruiere zuerst eine homogene Lösung, also eine Funktion $y$ mit
\[
y''(t)+a_1(t)\cdot y'(t)+a_0(t)\cdot y(t)=0
\] für alle $t\in I$.

EDIT: Typo in der letzten Gleichung


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Aus: Würzburg
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-09 19:39

Hallo ochen,

danke für die schnelle Antwort. Ja du hast recht, ich habe es schon berichtigt.

Aber ich weiß nicht genau, wie ich jetzt diese Funktion y(t) konstruieren soll  😵

Für die Homogenität würde ich ja b(t) erstmal gleich 0 setzen und dann x1(t), x2(t) und x3(t) in dein angegebenes Gleichungssystem einsetzen. Aber irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch, wie es dann weiter geht.

Viele Grüße,
nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2877
Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-09 20:28

Was passiert denn, wenn du Gleichung (1) von Gleichung (2) aus dem Beitrag 1 abziehst?

Kennst du Vektorräume?


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Aus: Würzburg
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-09 20:37

Dann ergibt sich, dass a0(t) = 0 gelten muss, oder?

Und Vektorräume kenne ich.

LG nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2877
Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-10 05:14

Kannst du deine Rechnung dazu aufschreiben?


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Aus: Würzburg
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10 09:03

Hallo ochen,

hier ist meine Rechnung. Im letzten Schritt ist b(t) ja dann gleich 0, wenn man die homogene DGL betrachtet und damit dann ja auch a0(t) gleich 0.



Viele Grüße,
nitram999


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8815
Aus: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-10 11:59
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was ist denn \(b(t)-b(t)\)?

wally
\(\endgroup\)

nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Aus: Würzburg
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10 20:34

Ups, hab mich verschrieben...

-2 a0(t) = 0 muss da stehen, woraus dann folgt dass a0(t)=0 ist (wie ich im Beitrag 4 ja schon gesagt habe).

Aber wie gehts dann weiter?


haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
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Aus: Bochum
Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-14 09:05

Hallo,

Du könntest jetzt mit dem Wissen, dass <math>a_0(t)=0</math> ist, weiterrechnen, aber das ist vielleicht gar nicht so optimal.

Gefragt ist ja nach "Man bestimme die Menge aller Lösungen".

Hast Du denn eine Charakterisierung, wie die Menge aller Lösungen solch einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung aussieht?

Das könnte hier enorm helfen (zusammen mit Deinen bisherigen Überlegungen zur homogenen DGL).

Viele Grüße,
haerter




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Druckdatum: 2020-08-14 02:12