Forum:  Analysis
Thema: "Regular Surfaces" durch Gleichungen definiert schneiden sich orthogonal
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Lea5619
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Themenstart: 2020-02-19 20:48

Also, z.B. soll diese Gleichung $x^2+y^2+z^2=ax$ eine reguläre Oberfläche (falls das die richtige Übersetzung ist) definieren.

Wie kann man das nachweisen?

Also, man benötigt ja eine Abbildung von $\mathbb{R}^2$ nach $\mathbb{R}^3$. Dann kann man die Gleichung nach $z$ umformen, so dass
$z= \sqrt{ax-x^2-y^2}$ bzw $z= -\sqrt{ax-x^2-y^2}$.
Also haben wir eine Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ mit $f(x,y)=(x,y,\sqrt{ax-x^2-y^2})$ bzw $(x,y,-\sqrt{ax-x^2-y^2})$.

Ist das bis hierhin richtig? Wenn nicht, wie ist es richtig?

Und jetzt muss ich nach der Definition ja noch nachweisen, dass die Funktion ein differenzierbarer Homomorphismus ist. Und ich denke, dass diese Eigenschaft offensichtlich erfüllt ist und nicht weiter erklärt werden muss oder übersehe ich etwas?

Und dann fehlt noch nachzuweisen, dass die Ableitung der Abbildung injektiv ist. Da wir ja drei Variablen haben ist die Ableitung eine 3x3 Matrix, oder? Muss ich das dann über den Rang der Matrix nachweisen?

Außerdem sollen die drei regulären Oberflächen, die durch die Gleichungen
 $x^2+y^2+z^2=ax$

 $x^2+y^2+z^2=by$ und

 $x^2+y^2+z^2=cz$

beschrieben werden, sich orthogonal schneiden. Wie kann ich das nachweisen?


Wally
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19 21:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Lea,

besser ist es so: \(f(x,y,z)=0\) definiert eine reguläre Oberfläche (=differenzierbare Mannigfaltigkeit), wenn \(\text{grad}~ f=0\) für \(f=0\) nicht vorkommt - das folgt aus dem Satz über implizite Funktionen.

Flächen stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gradienten der definierenden Funktionen diese Eigenschaft in den Schnittpunkten haben.

Wally
\(\endgroup\)

Lea5619
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20 07:08

Hallo Wally,

vielen Dank für deine Antwort!
Könntest du mir erklären, warum das aus dem Satz über die impliziten Funktionen folgt?

Dann habe ich für die drei Gradienten
$[2x-a~~~2y~~~2z]^T$, $[2x~~~2y-b~~~2z]^T$ und $[2x~~~2y~~~2z-c]^T$.
Ich werde jetzt einfach nur die erste Gleichung und den entsprechenden ersten Gradienten betrachten. Für die anderen beiden gilt das ja analog.

Betrachte also $f(x,y,z)=x^2-ax+y^2+z^2$

Da nach Voraussetzung $a,b,c \neq 0$ ist, gilt $grad~f =[2x-a~~~2y~~~2z]^T =0$ nur genau dann, wenn $x=\frac{a}{2}, y=z=0$. Für $f$ gilt mit diesen Werten dann ja aber $(\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{2}+0+0=\frac{a^2}{4}\neq 0$. Also ist die Bedingung, die du geschrieben hast, erfüllt. Und somit haben wir eine differenzierbare Mannigfaltigkeit gegeben...

Und die drei Gleichungen schneiden sich ja bei $x=y=z=0$. Nirgendwo anders, oder? Wenn ich dann das Skalarprodukt der Gradienten mit den jeweiligen Werten nehme, erhalte ich $0$ und damit Orthogonalität.


Wally
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20 08:35
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Lea,

wenn an einem Punkt der Fläche \(f(x,y,z)=0\) der Gradient ungleich Null ist, (z.B. \(f_x(x_0,y_0,z_0)\neq 0\)), dann sagt der Satz über implizite Funktionen, dass man in einer Umgebung von \((y_0,z_0)\) eine differenzierbare Auflösung \(x=g(y,z)\) mit \(f(g(y,z),y,z)=0\) hat. Das ist vielleicht deine Definition von "differenzierbarer Mannigfaltigkeit.

Der Nullpunkt gehört zu allen drei Kugeln, aber es gibt noch mehr Schnittpunkte. Für \(a=b=c=3\) ist es z.B. der Punkt \((1,1,1).
\)

Wally
\(\endgroup\)

Lea5619
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20 17:00

Hmm. In meiner Definition steht, dass $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, wenn es eine Familie von injektiven Abbildungen $x_{\alpha}: U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^n \rightarrow M$ gibt, so dass

$\cup_{\alpha} x_{\alpha}(U_{\alpha})=M$ und

für alle $\alpha,\beta$ mit $x_{\alpha}(U_{\alpha}) \cap x_{\beta}(U_{\beta})=W \neq \emptyset$, sind $x_{\alpha}^{-1}(W)$ und $x_{\beta}^{-1}(W)$ offen und $x_{beta}^{-1} \circ x_{\alpha}$ differenzierbar ist.

Wo steht das im Zusammenhang zu der Definition, die der Satz über die impliziten Funktionen gibt?

Also, ich hab jetzt Orthogonalität über das Skalarprodukt für mehrere Schnittpunkte überprüft. Wenn ich $a,b,c$ setze und dann mögliche Werte für $x,y,z$ wähle. Aber wie sind die Schnittpunkte allgemein, so dass die Orthogonalität für alle Schnittpunkte nachgewiesen werden kann?




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Druckdatum: 2020-08-05 17:46