Forum:  Topologie
Thema: Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n
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Lea5619
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 65
Themenstart: 2020-02-20 08:10

Wie kann man zeigen, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Dimension n keine Immersion in den euklidischen Raum der Dimension n gibt?


lucceius
Aktiv
Dabei seit: 26.07.2015
Mitteilungen: 91
Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20 08:55

Hallo Lea5619,

ich gehe davon aus, dass du die folgende Aussage zeigen möchtest:
fed-Code einblenden
Ein Tipp: Falls es so eine Abbildung doch gibt, so verwendet man den Satz von der Umkehrabbildung und erhält einen lokalen glatten Diffeomorphismus
fed-Code einblenden
Außerdem sind wir in einem Hausdorffraum und unsere Mannigfaltigkeit ist kompakt ...

Ich hoffe, dass das hilft.

Gruß
lucceius


Lea5619
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 65
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20 17:36

Hmmm. Ich habe gelesen, dass jede n-dim Untermannigfaltigkeit des R^n offen ist.
Wenn $M$ also eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, dann ist das Bild $F(M)$ aufgrund der Stetigkeit kompakt und damit abgeschlossen. Also hätten wir ein Widerspruch...
Gilt das so?
Aber warum ist jede n-dim Untermannigfaltigkeit des $R^n$ offen?


lucceius
Aktiv
Dabei seit: 26.07.2015
Mitteilungen: 91
Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20 21:44

Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
in fed-Code einblenden offen.
Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

Gruß
lucceius


Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4547
Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-20 22:49

Hi,

2020-02-20 21:44 - lucceius in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
in fed-Code einblenden offen.
Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

Gruß
lucceius

So ganz reicht das noch nicht; versuche einmal elementar zu begründen, warum die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im $\mathbb{R}^n$ keine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist.

vG,
Fabi


Lea5619
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 65
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20 22:59

Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Lea5619
Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 65
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21 00:24

Hi,
warum ist das mit der Einheitskugel relevant?
Und ich denke die Einheitskreisscheibe ohne Rand ist keine kompakte Untermannigfaltigkeit, weil sie ohne Rand nicht abgeschlossen ist und damit im endlichen $\mathbb{R}^n$ nicht kompakt...


lucceius
Aktiv
Dabei seit: 26.07.2015
Mitteilungen: 91
Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-21 10:40

2020-02-20 22:59 - Lea5619 in Beitrag No. 5 schreibt:
Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
Nein. Der Widerspruch liegt in der Kompaktheit:
fed-Code einblenden

Gruß
lucceius




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Druckdatum: 2021-01-27 13:33