Forum:  Strukturen und Algebra
Thema: Universelle Eigenschaft von Initial-/Finaltopologien
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Kezer
Senior
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Themenstart: 2020-03-10 23:34

Hi,

eine Frage zum Wikipedia-Artikel von Initialtopologie.

Dort wird behauptet, dass das obige Diagramm eine universelle Eigenschaft ist. In meinen Augen ist das in dieser Form noch keine universelle Eigenschaft, denn anders als bei universellen Eigenschaften, gibt es hier keinen Pfeil mit "es gibt genau einen Morphismus, sodass...". (Bzw. genauer z.B. als Initialobjekt in einer Kommakategorie, etc...)

Im englischen Wikipedia wird auch explizit darauf hingewiesen, dass das Diagramm keine universelle Eigenschaft darstellt. (Man kann ja das Ganze wohl modifizieren und zu einer universellen Eigenschaft machen wie im englischen Wikipedia, aber in dieser Form ist es doch noch keine?)

Verwechsle ich hier etwas? Ich habe die Wikipedia-Artikel (inklusive den gleichen Sachen auf Finaltopologie und auch der englischen Finaltopologie Artikel) ausgebessert, wie man in der ungesichteten Version sehen kann - möchte hier aber keinen miesen Fehler begangen haben.


Triceratops
Aktiv
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09 23:31

Das Konzept ist eine universelle Eigenschaft, wenn man es richtig interpretiert.
 
Sei $(f_i : X \to Y_i)_{i \in I}$ eine Familie von stetigen Abbildungen. Es trägt $X$ die Initialtopologie bezüglich dieser Familie, wenn folgendes gilt:

Es sei $T$ ein topologischer Raum und $h : |T| \to |X|$ eine Abbildung (hierbei sei also $|X|$ die Trägermenge von $X$). Für jedes $i \in I$ sei $|f_i| \circ h : |T| \to |Y_i|$ stetig (also komme von einer stetigen Abbildung $T \to Y_i$). Dann gibt es genau eine stetige Abbildung $g : T \to X$ mit $|g| = h$.

Hier besteht offenbar eine Eindeutigkeit.

Versteht man etwa das Produkt von topologischen Räumen auf diese Weise, ergibt sich die universelle Eigenschaft des Produktes von Räumen aus der obigen universellen Eigenschaft sowie der universellen Eigenschaft des Produktes von Mengen.
 
Dass die Eindeutigkeit oben sowieso aus der Treuheit des Vergissfunktors folgt, ist dabei eher zweitrangig.

Eine andere, fast schon triviale Interpretation der initialen Topologie als universelle Eigenschaft: Hierbei geht es ja um initiale Topologien, die per Definition initiale Objekte in einer gewissen Präordnung sind.


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 19:31

Schön dich mal wieder auf dem MP zu sehen, Triceratops. :-)

Danke für die Antwort, sie erklärt, wieso die Initialtopologie in einer Vorlesung eines Freundes von mir als universelle Eigenschaft eingeführt worden ist.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-12 17:01

Nachtrag: Eine Definition von "universelle Eigenschaft eines Objektes $X$" ist, dass man den Funktor $\hom(-,X)$ (oder dual dazu $\hom(-,X)$) bis auf Isomorphie beschreibt. Genau das macht man hier:

$\hom(T,X) \cong \{h \in \hom(|T|,|X|) : \forall i \in I. \, |f_i| \circ h \text { ist stetig}\}$

Oder noch abstrakter mit einem Faserprodukt:
 
$\hom(T,X) \cong \bigl(\prod_{i \in I} \hom(T,Y_i)\bigr) \times_{\large\bigl(\prod_{i \in I} \hom(|T|,|Y_i|)\bigr)} \bigl(\hom(|T|,|X|)\bigr)$




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Druckdatum: 2020-09-21 05:05