Forum:  Systeme von DGL
Thema: Linearisierung mittels Substitution
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fre4k
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Themenstart: 2020-03-11 07:10

Hallo,

ich habe in meinen Unterlagen folgende Linearisierung mittels Substitution, welche ich nicht nachvollziehen kann. Das wird hier scheinbar als "selbsterklärend" vorrausgesetzt.

\[x'''+Kx'=3*\frac{1-x}{x^3}\]
K ist eine beliebige Konstante.

Nun erfolgt eine Substitution mittels \(x=1+t\) und es folgt daraus

\[t'''+Kt'+3t=0\]
Kann man hier direkt sagen, dass nach dem Einsetzen \((1+t)'''=t'''\) und \((1+t)'=t'\) gilt oder übersehe ich da etwas ?

Weiters frage ich mich warum hier \(\frac{1}{x^3}=\frac{1}{(1+t)^3}\) scheinbar zu 1 abgeschätzt wird?

Wäre für hilfreiche Tipps sehr dankbar.

lg



haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-11 08:52

Hallo,

hier ist wohl das folgende gemeint:

Die DGL
\[
x'''(s)+Kx'(s)=3*\frac{1-x(s)}{x^3(s)}
\] besitzt die Ruhelage <math>x(s)\equiv 1</math>.
Wenn man nun Lösungen betrachtet, die "kleine Störungen" dieser Ruhelage sind, dann kann man den Ansatz <math>x(s)=1+t(s)</math> machen.

In diesem Fall ist dann <math>x"""(s)=t"""(s)</math>, <math>x"(s)=t"(s)</math> und
\[
\frac{1-x(s)}{x^3(s)}=\frac{-t(s)}{(1+t(s))^3}=-t(s)+3t(s)^2-4t(s)^3+\ldots=-t(s) + \mathcal{O}(t^2).
\] Wenn man sich nun auf den linearen Teil beschränkt, erhält man gerade das von Dir angegebene Ergebnis.

Viele Grüße,
haerter


fre4k
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Dabei seit: 26.05.2011
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11 11:16

Hallo, danke erstmal für deine rasche Antwort !

Ich versteh aber nicht so ganz den letzten Hinweis. Was ist den der Grund warum nach der Substitution nur noch der lineare Anteil überbleibt ?

Hat es vielleicht auch damit zu tun, dass x und t beides dimensionslos ist und ich hier überlegen muss, welche Terme Ordnung 1 sind ?

lg


haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1605
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-11 12:53

Hallo,

nein, mit der Dimension hat es nichts zu tun.

Man entwickelt die rechte Seite in eine Potenzreihe und weil man linearisieren will (weil man annimmt, dass <math>t</math> klein ist), lässt man die Terme höherer Ordnung in <math>t</math> weg.

Man könnte alternativ auch einfach die Ableitung der rechten Seite bei <math>x=1</math> berechnen, also für die Linearisierung von
\[
x'''+ Kx'=f(x)
\] in der Ruhelage <math>x=1</math> dann
\[
t''' + Kt' = f'(1)\cdot t
\] erhalten.

Viele Grüße,
haerter


haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-11 12:55

Vielleicht noch zur Klarstellung: Der lineare Anteil bleibt nach der Substitution nicht "übrig", sondern man lässt alles andere außer dem linearen Anteil weg.




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Druckdatum: 2020-08-06 21:30