Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Doppelfolgen
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Ehemaliges_Mitglied
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Themenstart: 2020-04-02 14:03

Hallo,

angenommen ich habe eine reelle positive Doppelfolge $(a_{n,k})_{(n,k)}, n,k \in \mathbb{N}$ mit den Eigenschaften $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0 \ \forall n$ und $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} $ existiert und ist endlich für alle $ k$ sowie
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0.
\] Kann ich dann daraus folgern (wenn ja, wieso), dass
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k} = 0?
\]


Tirpitz
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-02 21:39

Hallo!

Ja, ich glaube, dass kann man folgern. Mein Versuch:

Laut Voraussetzung gilt für $\epsilon>0$, dass $\forall n\in\mathbb N\,\exists K(\epsilon,n)\in\mathbb N\,\forall k\ge K:|a_{n,k}|<\epsilon.$
Insbesondere $\exists K'(\epsilon)\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb N\,\,\forall k\ge K':|a_{n,k}|<\epsilon,$ wenn man $K'(\epsilon):=\max\limits_{n\in\mathbb N}\{K(\epsilon,n)\}$ wählt. Daraus folgt nun, dass für $\epsilon>0$ gegeben alle Einzelfolgen im ersten Index $(a_{n,k})_{n\in\mathbb N}$ mit $k\ge K'(\epsilon)$ die Ungleichung $|a_{n,k}|<\epsilon\,\forall n\in\mathbb N$ erfüllen. Laut Definition ist für ein $k$ $\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|$ die kleinste obere Schranke von $(|a_{n,k}|)_{n\in\mathbb N},$ also $\epsilon>\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|>|\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}|\,\forall k\ge K'$. Das bedeutet aber gerade, dass $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}=0.$

p.s. Die beiden weiteren Voraussetzungen werden m.E. also nicht benötigt, um die Aussage zu beweisen.


Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02 22:28

Vielen Dank für deine Bemühungen!

Ich befürchte aber da stimmt was nicht. Als Gegenbeispiel nenne ich die Folge $n/k$. Diese erfüllt die Bedingung, welche du benutzt, aber offensichtlich nicht die Aussage, welche zu beweisen (oder zu widerlegen) ist. Der Fehler in deiner Argumentation liegt m.E. darin, dass du annimmst, dass $K'$ endlich ist.

Würde mich auch sehr wundern, wenn die eine Bedingung bereits ausreicht, bei so Doppelfolgen muss man leider immer wahnsinnig aufpassen :(


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-02 22:44

Stimmt, der Ansatz ist falsch. Ich glaube nicht, dass man den mit den weiteren Voraussetzungen retten kann.
Ich wundere mich aber über $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}<\infty$. Wenn die Folge ins Negative für ein k divergiert, dann ist $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{n,k}$ nicht wohldefiniert. Ist vielleicht $|\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}|<\infty$ gemeint? Oder (exakter), dass jede Folge in  n konvergiert?


Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02 23:03

Eh, ja, damit ist gemeint, dass die Grenzwerte alle existieren. Sorry, dachte das ist klar so. Ich ändere es und mache es deutlicher.


DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-03 09:16

Hallo esner,

ich denke, die Aussage ist falsch, $a_{n,k}=\frac{1}{|n-k|+1}$ ist ein Gegenbeispiel. Damit ist $\lim_{k \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $n$ und auch $\lim_{n \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $k$ (denn $a_{n,k}=a_{k,n}$), aber für jedes $k$ ist $\sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k}=a_{n,n}=1$.

Gruß,
David




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Druckdatum: 2020-07-08 16:51