Forum:  Ringe
Thema: Zentralisator abgeschlossen unter Inversen
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Nullring
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Dabei seit: 14.05.2020
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Themenstart: 2020-06-01 14:27

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.


Ich möchte also zeigen, dass für \(a \in C_R(b)\) folgt dass \(a^{-1} \in C_R(b)\) gilt, falls a invertierbar ist.

Das multiplizieren mit einem invertierbarem Element ist ja eine Äquivalenzumformung, also:

\[a^{-1}b=ba^{-1} \Leftrightarrow aa^{-1}b=aba^{-1} \Leftrightarrow b=b \]
Wobei die letzte Äquivalent gilt, da per Vorraussetzung \(ab=ba\) gilt. Ist dies so korrekt?
Es war so einfach, dass ich misstrauisch geworden bin.
LG


Nullring
Aktiv
Dabei seit: 14.05.2020
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01 14:48

Zur Notation, \(C_R(b)\) ist der Zentralisator bezüglich b.


Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-01 15:04

Ja, dein Beweis ist richtig, das ist keine so schwierige Aussage.


hippias
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Mitteilungen: 255
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-01 15:11

2020-06-01 14:27 - Nullring im Themenstart schreibt:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.


Ich möchte also zeigen, dass für \(a \in C_R(b)\) folgt dass \(a^{-1} \in C_R(b)\) gilt, falls a invertierbar ist.

Das multiplizieren mit einem invertierbarem Element ist ja eine Äquivalenzumformung,

also:

\[a^{-1}b=ba^{-1} \Leftrightarrow aa^{-1}b=aba^{-1} \]
Das sieht ein bisschen nach Schule aus: kannst Du beweisen, dass Multiplikation mit einem invertierbaren Element eine Äquivalenzumformung ist?






\[\Leftrightarrow b=b \]
Wobei die letzte Äquivalent gilt, da per Vorraussetzung \(ab=ba\) gilt. Ist dies so korrekt?
Es war so einfach, dass ich misstrauisch geworden bin.
LG

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.]


Nullring
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Dabei seit: 14.05.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01 15:56

2020-06-01 15:11 - hippias in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-06-01 14:27 - Nullring im Themenstart schreibt:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.


Ich möchte also zeigen, dass für \(a \in C_R(b)\) folgt dass \(a^{-1} \in C_R(b)\) gilt, falls a invertierbar ist.

Das multiplizieren mit einem invertierbarem Element ist ja eine Äquivalenzumformung,

also:

\[a^{-1}b=ba^{-1} \Leftrightarrow aa^{-1}b=aba^{-1} \]
Das sieht ein bisschen nach Schule aus: kannst Du beweisen, dass Multiplikation mit einem invertierbaren Element eine Äquivalenzumformung ist?






\[\Leftrightarrow b=b \]
Wobei die letzte Äquivalent gilt, da per Vorraussetzung \(ab=ba\) gilt. Ist dies so korrekt?
Es war so einfach, dass ich misstrauisch geworden bin.
LG

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.]

Ich bin im 4 Semester Bachelorstudium, ich könnte dabei ins Schwitzen kommen, sollte sich aber ausgehen. :D




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Druckdatum: 2020-10-26 04:27