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Thema: Zeitabhängigkeit von Operatoren
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Batman2708
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Dabei seit: 27.04.2018
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Themenstart: 2020-07-02 01:19

Hallo,

mich beschäftigt aktuell die Frage, wann ein Operator "explizit" zeitabhängig ist und wann nicht. Leider findet man keine direkte Erklärung dafür, da stets entweder von dem einen oder dem anderen ausgegangen wird.

Ich denke folgendes und versuche meine Gedanken beispielhaft zu erklären: Operatoren wie der Impuls oder Drehimpuls können i. A. nicht explizit von der Zeit abhängen, da sie lediglich Eigenschaften eines System repräsentieren, die von beispielsweise Feldern abhängen können (im Fall des Drehimpulses womöglich ein magnetisches Feld). Dann ist deren Zeitabhängigkeit lediglich indirekt.
Kurz gesagt: hängt ein Operator von einem Feld ab, oder etwas anderem, erhält er seine "nicht-explizite" Zeitabhängigkeit genau über diese Abhängigkeit.

Ein Hamiltonoperator kann natürlich zeitabhängig sein, es kommt ganz einfach auf das System an.

Ich freue mich über jede Antwort, idealerweise bezogen auf den Drehimpulsoperator in einem zeitabhängigen Magnetfeld.


Mit freundlichen Grüßen,

Batman





Spock
Senior
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8070
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04 12:52

Hallo Fledermaus!

2020-07-02 01:19 - Batman2708 im Themenstart schreibt:
...
Ich denke folgendes und versuche meine Gedanken beispielhaft zu erklären: Operatoren wie der Impuls oder Drehimpuls können i. A. nicht explizit von der Zeit abhängen,
...

Ich würde das eher umgekehrt formulieren: ... können i.A. explizit von der Zeit abhängen...

Was spricht dagegen? Operatoren in nahezu allen "Bildern" (Heisenbergbild, Schrödingerbild, Wechselwirkungsbild) dürfen und können explizit zeitabhängig sein.  

2020-07-02 01:19 - Batman2708 im Themenstart schreibt:
...
Kurz gesagt: hängt ein Operator von einem Feld ab, oder etwas anderem, erhält er seine "nicht-explizite" Zeitabhängigkeit genau über diese Abhängigkeit
...

Eher nein! Bei nicht-expliziter Zeitabhängigkeit kommt es auf das jeweilige "Bild" an, welches man zur Beschreibung benutzt, Stichworte Schrödingerbild und Heisenbergbild.

2020-07-02 01:19 - Batman2708 im Themenstart schreibt:
...
Ein Hamiltonoperator kann natürlich zeitabhängig sein, es kommt ganz einfach auf das System an.
...

Wenn hier "zeitabhängig" explizit zeitabhängig meint, ja, ansonsten kommt es auf das beschreibende Bild an, siehe oben.

Grüße
Juergen


index_razor
Aktiv
Dabei seit: 06.03.2016
Mitteilungen: 184
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-05 10:26

2020-07-04 12:52 - Spock in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Fledermaus!

2020-07-02 01:19 - Batman2708 im Themenstart schreibt:
...
Ich denke folgendes und versuche meine Gedanken beispielhaft zu erklären: Operatoren wie der Impuls oder Drehimpuls können i. A. nicht explizit von der Zeit abhängen,
...

Ich würde das eher umgekehrt formulieren: ... können i.A. explizit von der Zeit abhängen...

Was spricht dagegen? Operatoren in nahezu allen "Bildern" (Heisenbergbild, Schrödingerbild, Wechselwirkungsbild) dürfen und können explizit zeitabhängig sein.  

Mit "expliziter" Zeitabhängigkeit einer Observable G ist vermutlich etwas anderes gemeint.  Der hermitesche Operator \(\overset{\circ}{G}\), dessen Erwartungswerte genau die Zeitableitungen von \(\langle \psi, G\psi\rangle\) sind erfüllt die "Bewegungsgleichung"

\(\overset{\circ}{G} = i[H, G] + \partial_t G\).

Diese ist bildunabhängig.  Insbesondere verschwindet der letzte Term entweder in allen Bildern oder in gar keinem.  Er könnte also zur bildunabhängigen Definition von expliziter Zeitunabhängigkeit verwendet werden.

Lediglich die funktionelle Abhängigkeit der einzelnen Terme von t ändert sich mit dem Bild.  Das bedeutet der Zusammenhang zwischen \(\overset{\circ}{G}, \partial_t G\) und \(\frac{d}{dt} G\) ist ebenfalls vom Bild abhängig.  So könnte man z.B. das Heisenbergbild über die Bedingung

\(\overset{\circ}{G} = \frac{d}{dt} G\)

definieren und das Schrödingerbild über

\( \partial_t G = \frac{d}{dt} G\).

Im Schrödingerbild ist die explizite Zeitabhängigkeit die einzige Zeitabhängigkeit.





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Druckdatum: 2020-09-18 15:56