Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Wahrscheinlichkeit abschätzen
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qed14
Junior
Dabei seit: 13.06.2020
Mitteilungen: 7
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Themenstart: 2020-07-04 18:56

Hallo! Da mir letztes Mal hier super geholfen wurde, versuche ich noch einmal mein Glück. In einer Beispielklausur habe ich folgende Frage gefunden: Sei $\tilde{x}$ eine Zufallsvariable mit $E[\tilde{x}] = 3$ und $Pr(x ≤ 0) = 0$. Geben Sie eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit $Pr(x < 6)$ an. Leider kann ich die Aufgabe überhaupt nicht zuordnen und habe keine Ahnung, wie ich das angehen soll. Könnte mir vielleicht von euch jemand einen Hinweis geben, was hier erwartet wird?


Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 140
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04 19:36

Huhu qed14,

wenn sonst nichts gegeben ist, würde ich den Erwartungswert in zwei Integrale aufteilen,

$E(\tilde{x}) = \displaystyle\int_{\{\tilde{x} < 6\}}  \tilde{x}\, dP + \int_{\{\tilde{x} \geq 6\}} \tilde{x}\, dP$,

die rechte Seite nach unten abschätzen und dann nach $P(\tilde{x} < 6)$ umstellen.

Wenn noch die Varianz gegeben wäre, würde ich $P(\tilde{x}<6)$ so umschreiben, dass man die Tschebyscheff-Ungleichung anwenden kann.

Liebe Grüße,
Conny


qed14
Junior
Dabei seit: 13.06.2020
Mitteilungen: 7
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04 20:38

Hallo Conny, danke für die Antwort! Da im zweiten Teil der Aufgabe noch die Varianz mit $V[\tilde{x}]=2$ gegeben ist, wird dann wahrscheinlich Chebychev erwartet. Wenn ich also $P(|X-\mu|<k)≥1-\sigma^2/k^2$ habe, wäre in dem Fall $k=3$ und $\sigma^2=2$ und damit $P(|X-3|<3)≥7/9$, oder hab ich das falsch verstanden?


Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 140
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04 23:09

Huhu qed14,

das ist alles richtig so.
Du musst dir jetzt nur noch überlegen, warum $P(\tilde{x}<6) = P(|\tilde{x}-E(\tilde{x})|<3)$ gilt.

Liebe Grüße,
Conny


qed14
Junior
Dabei seit: 13.06.2020
Mitteilungen: 7
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04 23:55

Also ich hätte jetzt gesagt, weil aus $P(\tilde{x}<6)$ ja $P(\tilde{x}-3<3)$ folgt - oder willst du auf etwas anderes hinaus?


Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 140
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-05 02:07

Huhu qed14,

du brauchst ja $P(\tilde{x}<6) = P(|\tilde{x}-3|<3)$ und nicht nur $P(\tilde{x}<6) = P(\tilde{x}-3<3)$. Das kannst du zeigen, indem du verwendest, dass $P(\tilde{x}\leq 0)=0$ gilt.

Liebe Grüße,
Conny


qed14
Junior
Dabei seit: 13.06.2020
Mitteilungen: 7
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05 09:03

Ah stimmt, also $P(-3<\tilde{x}-3<3)=P(|\tilde{x}-3|<3)$. Danke dir für deine Hilfe! :)


Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 140
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-05 16:06

Huhu qed14,

2020-07-05 09:03 - qed14 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ah stimmt, also $P(-3<\tilde{x}-3<3)=P(|\tilde{x}-3|<3)$. Danke dir für deine Hilfe! :)

genau, und

$P(\tilde{x}<6) = P(0<\tilde{x}<6) = P (-3<\tilde{x}<3)$

wegen $P(\tilde{x}\leq 0) = 0$, das solltest du noch dazuschreiben.
Freut mich, dass ich dir helfen konnte! 😃

Liebe Grüße,
Conny




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Druckdatum: 2020-09-21 21:58