Forum:  Topologie
Thema: Motivation für das Eckmann-Hilton Argument
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Themenstart: 2020-07-06 20:07

Hey,

sei $G$ eine topologische Gruppe. Bekannterweise ist $\pi_1(G, e)$ abelsch.

Traditionell wird hier das Eckmann-Hilton Argument angewendet - was in abstract nonsense besagt, dass Monoidobjekte in der Kategorie der Monoiden abelsch sind.

Am natürlichsten scheint es mir, diese Aussage 2-kategorisch zu betrachten, wo sie dasselbe wie das Interchange Law ist.

Meine Frage ist, wie man motiviert, dass die Fundamentalgruppe topologischer Gruppen mit Eckmann-Hilton zu tun haben könnte. Wieso bekommt man diese Struktur, wenn man topologische Gruppen betrachtet? A priori finde ich es nämlich nicht klar, dass man hier Eckmann-Hilton einsetzen sollte.


PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06 23:58

2020-07-06 20:07 - Kezer im Themenstart schreibt:
Meine Frage ist, wie man motiviert, dass die Fundamentalgruppe topologischer Gruppen mit Eckmann-Hilton zu tun haben könnte. Wieso bekommt man diese Struktur, wenn man topologische Gruppen betrachtet? A priori finde ich es nämlich nicht klar, dass man hier Eckmann-Hilton einsetzen sollte.

Das war für die höheren Homotopiegruppen auch tatsächlich nicht unmittelbar offensichtlich, wie du im geschichtlichen Abschnitt des Wiki-Artikel nachlesen kannst.

Generell kann man zwei verschiedene Monoid-Strukturen für die Homotopiegruppen definieren. Das Bild dahinter ist, dass man Homotopien auf verschiedene Weisen zusammensetzen kann, nämlich "vertikal" und "horizontal" (das kann man für $\pi_2$ auch ganz gut aufzeichnen).

Für die Fundamentalgruppe ist es einfach die Erkenntnis, dass man zwei Schleifen entweder mittels der Multiplikation der topologischen Gruppe, oder durch Konkatenation (nacheinander durchlaufen) miteinander verknüpfen kann. Das sind beides naheliegende und wohldefinierte Begriffe für das Produkt zweier Elemente der Fundamentalgruppe. Die zugehörigen Äquivalenzklassen stimmen überein, d.h. das durch die Gruppenmultiplikation induzierte Produkt zweier Schleifen ist homotop zur Konkatenation. Das führt genau auf das Eckmann-Hilton-Argument im einfachsten Fall.

Grüße,
PhysikRabe


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 913
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07 08:32

Danke für deine Antwort, PhysikRabe.

Ja, ich kenne diese Argumente. Du hast Recht, dass es geschichtlich nicht offensichtlich war, allerdings kann man auch nachlesen, dass Eckmann und Hiltons Paper erst 30 Jahre nach dem Beweis der Kommutativität der höheren Homotopiegruppen veröffentlich wurde.

Meiner Meinung nach ist es mit den modernen Erkenntnissen in diesem Fall viel einleuchtender, dass $\pi_n$ abelsch ist - wie du es skizziert hast mit $\pi_2$. Schließlich ist die 2-kategorische Vorstellung (das fundamental $2$-Groupoid $\Pi_{\leq 2}$ ist nicht ohne Grund auch ein fundamentales Beispiel für $2$-Kategorien) genau das.

Bei $\pi_1(G,e)$ sehe ich nicht unmittelbar dieses Bild. Andererseits hast du schon Recht, dass diese Gruppe zwei ziemlich natürliche Operationen trägt und man dann das Eckmann-Hilton Argument probieren könnte.

Der Unterschied für mich ist, dass man das Argument bei $\pi_2$ sofort bildlich sehen kann, bei $\pi_1(G,e)$ nicht unbedingt. Aber womöglich kann man das wirklich nicht besser motivieren als dass diese Operationen auf $\pi_1(G,e)$ eben sehr natürlich sind.

Edit: Mir fällt gerade auf, dass man in folgende Richtung gehen könnte: Im Anfangspost habe ich bemerkt, dass Eckmann-Hilton aussagt, dass Monoid-/Gruppenobjekte in der Kategorie der Monoiden/Gruppen abelsch sind.

Hier ist es ähnlich, wir beginnen mit einer Gruppe $G$ und formen dann daraus eine neue Gruppe $\pi_1(G,e)$. Die Operationen kommen einerseits von $G$ (Gruppenoperation) und andererseits von der Topologie über $\pi_1$ (Konkatenation von Schleifen). Das erinnert mich an obige Aussage.

Vielleicht kann man diese Beobachtung auch formal machen, momentan sehe ich aber nicht wie.

Edit 2: Okay, $\pi_1(G,e)$ ist bloß ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen (was genau die Voraussetzungen von Eckmann-Hilton sind). Ich glaube, das formalisiert noch nicht komplett meine Idee, aber kommt dem schon sehr nahe.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11 22:26

Mir ist nicht ganz klar, was hier noch die Frage ist, denn du hast den Beweis bereits erbracht. Ich schreibe ihn noch einmal kategorieller auf: $\pi_1$ ist ein Funktor $\mathbf{Top}_* \to \mathbf{Grp}$, der endliche Produkte erhält. Insbesondere beschränkt er sich zu einem Funktor zwischen Gruppenobjekten, das heißt für jede topologische Gruppe $G$ ist $\pi_1(G,e)$ ein Gruppenobjekt in $\mathbf{Grp}$ und damit eine abelsche Gruppe (es gilt $\mathbf{Grp}(\mathbf{Grp}) \cong \mathbf{Ab}$). Ein rein geometrisches Argument wie bei $\pi_n$ für $n \geq 2$ kann es nicht geben, weil $\pi_1(X,x)$ nicht für jeden Raum $X$ abelsch ist, sondern man noch eine zusätzliche Struktur wie etwa die einer topologischen Gruppe braucht.


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 11:05

Ich glaube, da ich es nicht so formal aufgeschrieben habe, war mir wohl nicht so klar, dass $\pi_1$ Gruppenobjekte erhält.

Du hast es aber sehr prägnant aufgeschrieben, und jetzt sieht man gut, was passiert, danke!




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Druckdatum: 2020-10-01 06:07