Forum:  Grenzwerte
Thema: Sandwich-Lemma
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Sandrob
Aktiv
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
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Themenstart: 2020-07-09 15:01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Tag,

Ich habe in der Vorlesung beim Thema Folgen & Grenzwerte gerade das Sandwich-Lemma kennengelernt und unser Prof wollte dies nicht formal beweisen. Nun habe ich dies als Übung für mich selber versucht und bin nicht ganz sicher, ob meine Beweisschritte alle hinreichend sind (vor allem beim Schluss bin ich mir ziemlich unsicher).

Hier zum einen das Lemma:

Angenommen $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sind reelle Folgen mit $a_n\leq b_n\leq c_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Weiterhin möchten wir voraussetzen, dass $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{c_n}=A$. Dann gilt auch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n}=A$.

Meine Beweisskizze sieht bis jetzt wie folgt aus:

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$. Nehmen wir nun $N=\max\{N_1, N_2\}$.

Dann gilt für alle $n\leq N$, dass $a_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$ und ebenfalls $c_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$. Aus der Annahme wissen wir zudem, dass $a_n\leq b_n\leq c_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt. Deswegen können wir auch sagen, dass $b_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$ gilt. Dies umgeschrieben heisst jedoch wieder nichts anderes, als $d(b_n,A)<\varepsilon$. Somit ist das Lemma bewiesen.

Findet ihr das in Ordnung und logisch korrekt?
\(\endgroup\)

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6154
Aus: Milchstraße
Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09 20:38

Hallo Sandrob,

bis auf Kleinigkeiten ist das okay. (Ein paar Indizes vergessen, Ungleichheitszeichen verkehrt herum)

Wenn du beim letzten Schritt noch unsicher bist, solltest du es dir noch einmal genauer überlegen. Also, wieso gilt $b_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$?


Sandrob
Aktiv
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 10:43

Hallo StrgAltEntf,

Sorry für meine verspätete Antwort!
Den Fehler mit dem verkehrten Ungleichheitszeichen habe ich entdeckt. Wo genau fehlen denn noch die Indizes?

Beim letzen Schritt bin ich mir eigentlich schon ziemlich sicher. Ich weiss halt einfach nicht ganz, ob mein Argument formal genug ist?


Gilles200
Junior
Dabei seit: 09.05.2020
Mitteilungen: 15
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11 11:30

2020-07-09 15:01 - Sandrob im Themenstart schreibt:

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$.

Es fehlen die Indizes der N.

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N_{1} \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N_{2} \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$.


Sandrob
Aktiv
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 16:02

Hallo Gilles200,

Oh stimmt, das habe ich völlig übersehen. Danke vielmals für deine Korrektur!




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Druckdatum: 2020-09-19 14:17