Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Dualräume und Annulator
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timA
Junior
Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 16
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Themenstart: 2020-07-10 09:55

Hi,

Ich bräuchte man Hilfe bei folgendem Beweis:

\[f:V \mapsto W\] und \[U\subseteq W\] Zu zeigen:
\[f^*(U^0)=(f^{-1}(U))^0\] wobei $f^*$ der Dualraum von f ist.

MfG


thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 10:15

Hallo timA,

was bedeutet die hochgestellte 0?

mfg
thureduehrsen


timA
Junior
Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 16
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 10:21

\[U^0\] stellt den Annulatorraum dar, dh alle Funktionen werden auf Null abgebildet.

Da ichs bisher über umformen etc nicht geschafft habe wäre meine Idee das vllt über Mengengleichheit zu zeigen, indem das eine Teilmenge des anderen ist und andersherum.


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-10 10:31

2020-07-10 10:21 - timA in Beitrag No. 2 schreibt:
\[U^0\] stellt den Annulatorraum dar, dh alle Funktionen werden auf Null abgebildet.
Naja. $U^\circ = \{ h\in W^*\mid h\vert_U = 0\}$.


Da ichs bisher über umformen etc nicht geschafft habe wäre meine Idee das vllt über Mengengleichheit zu zeigen, indem das eine Teilmenge des anderen ist und andersherum.
Das sollte aber funktionieren. Vielleicht kannst du mal bis zu der Stelle vorrechnen, an der du nicht weiterkommst.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]


timA
Junior
Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 16
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 10:46

Das ist es ja.
Übers umformen wüsste ich nicht wie ich das anders schreiben sollte aber ich kann versuchen es zu erklären soweit wie ich es verstanden habe.

Die duale Abbildung $f^*$ von $U^0$ schickt alle Funktionen aus $W^*$ die gleich Null sind auf
$V^*$ und die Umkehrabbildung von U geht ja auf eine Teilmenge von V und bildet dort den Annulatorraum für alle Funktionen aus der Teilmenge von V die auf Null geschickt werden.

Korrekt soweit?

MfG


thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 806
Aus: Kiel, Deutschland
Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-10 11:52
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-07-10 10:46 - timA in Beitrag No. 4 schreibt:
Korrekt soweit?

Nein.

2020-07-10 10:46 - timA in Beitrag No. 4 schreibt:
die Umkehrabbildung von U geht ja auf eine Teilmenge von V

\(U\) ist keine Abbildung, sondern eine Teilmenge von \(W\).

Mathematik studiert man nicht punktweise, indem man irgendwo einsticht und versucht, mit Begriffen zu jonglieren. Mathematik studiert man gleichmäßig und ausdauernd und gewissenhaft.
SCNR


mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1413
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-11 08:53

2020-07-10 11:52 - thureduehrsen in Beitrag No. 5 schreibt:
... Mathematik studiert man gleichmäßig und ausdauernd und gewissenhaft.

Dieses mathematische Wort zum Sonntag möchte ich noch mit ein paar konkreteren Hinweisen ergänzen:

Wie üblich kann man $f^*(U^0)=(f^{-1}(U))^0$ in einen "$\subseteq$"- und einen "$\supseteq$"-Schritt zerlegen.

Um $f^*(U^0)\subseteq(f^{-1}(U))^0$ zu zeigen, muss man nachrechnen, dass eine Linearform $\lambda\in f^*(U^0)$ alle Vektoren $v\in f^{-1}(U)$ auf $0$ abbildet. Und um das zu tun, muss man sich klarmachen, dass $\lambda\in f^*(U^0)$ bedeutet: (1) $\lambda$ hat die Form $\lambda\colon v\mapsto \mu\bigl(f(v)\bigr)$ mit einer Linearform $\mu\in W^*$ [das ist nicht mehr als die Definition von $f^*$] und (2) $\mu(u)=0$ für alle $u\in U$ [das ist die Definition von $U^0$].

Für $f^*(U^0)\supseteq(f^{-1}(U))^0$ sollte man sich als Erstes klarmachen, dass aus $\lambda\in(f^{-1}(U))^0$ insbesondere $\operatorname{Kern}(\lambda)\supseteq\operatorname{Kern}(f)$ folgt, und dass sich allein daraus schon die Form $\lambda=f^*\mu$ mit einem $\mu\in W^*$ ergibt. Einsetzen dieser Form liefert dann $\mu\in U^0$.

--zippy




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Druckdatum: 2020-09-28 13:04