Forum:  Taylorentwicklungen
Thema: Taylorpolynom
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Bura
Junior
Dabei seit: 31.05.2020
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Themenstart: 2020-07-11 20:05

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.





Das Taylorpolynom habe ich berechnet, nur weiß ich nicht, was es mit der Konstante M auf sich hat.

Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang aus der Differenz der Funktion und der Annäherung der Funktion durch das zweiter Taylorpolynom und der Konstante M.

Gruß


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11 20:56
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Hallo Bura,

Taylorpolynome sind nützlich, weil sie in der Nähe des Entwicklungspunktes eine gute Näherung der entwickelten Funktion darstellen. Was eine "gute Näherung" ist, muss man aber erst einmal definieren. Bei Taylorpolynomen ist das Wesentliche, dass die Funktion $f$ bis auf einen kleinen Rest identisch zu ihrem Taylorpolynom ist. Das heißt es gibt eine Restfunktion $R_n$, die in gewissem Sinne klein ist, wenn man nah an $x_0$ herangeht, sodass
\[f(x)=T_n(x;x_0)+R_n(x).\] "Klein, wenn man nah an $x_0$ herangeht" wird dann formalisiert, indem man konkret verlang, dass der Rest schneller als ein Polynom der Ordnung $n$ gegen 0 konvergiert, wenn man $x\to x_0$ gehen lässt. Das heißt, wenn man $x\to x_0$ gehen lässt, dann geht $\frac{R_n(x)}{\vert x-x_0\vert^n}$ gegen 0, da der Zähler $R_n$ schneller gegen 0 konvergiert, als der Nenner. Das lässt sich zum Beispiel erreichen, wenn der Rest durch $M\vert x-x_0\vert^{n+1}$ mit einer Konstante $M>0$ beschränkt ist. Denn dann wäre
\[\left\vert\frac{R_n(x)}{\vert x-x_0\vert^n}\right\vert\leq\frac{M\vert x-x_0\vert^{n+1}}{\vert x-x_0\vert^n}=M\vert x-x_0\vert,\] was tatsächlich gegen 0 konvergiert. Deshalb möchte man also eine solche Konstante $M$ finden, mit der $M\vert x-x_0\vert^{n+1}$ eine obere Schranke für den Betrag des Restes darstellt.

Und schlussendlich ist der Rest ja nichts anderes als $f-T_n$, denn es ist ja $f(x)=T_n(x;x_0)+R_n(x)$, also $R_n(x)=f(x)-T_n(x;x_0)$. Also will man im Endeffekt diese Differenz durch so einen Term wie oben beschrieben beschränken.

Wenn du jetzt in diesem konkreten Fall $M$ berechnen willst, dann würde ich dich darauf hinweisen, dass $\e^{\sin x}$ immer in $[\e^{-1},\e]$ liegt. Damit kannst du vielleicht etwas anfangen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1405
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-11 21:30
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2020-07-11 20:56 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
dann würde ich dich darauf hinweisen, dass $\e^{\sin x}$ immer in $[-\e,\e]$ liegt.

$e^{\sin x}$ kann negativ werden? Meinst du nicht eher $\left[\frac1e,e\right]$?
\(\endgroup\)

Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1063
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11 21:47

Stimmt natürlich. Danke für die Korrektur!


Bura
Junior
Dabei seit: 31.05.2020
Mitteilungen: 10
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 14:09

Vielen Dank Vercassivelaunos habe es nun lösen können.

Beste Grüße
Bura




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Druckdatum: 2020-09-21 06:09