Forum:  Eigenwerte
Thema: Jordan-Normalform bzw. Jordan-Basis
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LeMath
Junior
Dabei seit: 04.08.2020
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Themenstart: 2020-08-04 17:14

Hallo liebe Matheplanet-Community,
ich bin in meiner Vorlesung auf das Problem gestoßen, dass eine (in meinen Augen richtige) Lösung sich von der Lösung des Dozenten unterscheidet (erst ein Mal nix besonderes :D ), aber ich habe eigentlich jeden Schritt so durchgeführt wie ich es gelernt habe.

Ich habe um die geometrische Vielfachheit zu berechnen folgende Formel genutzt: dim( Ker(A - t * Id))

Mein Dozent hat aber die Matrix (A - t * Id) quadriert und dann den Kern berechnet.

Aber ich hatte vorher die Lösung, dass dim( Ker(A - t *Id) = 2 = algebraische Vielfachheit ist. und deshalb war die 3x3 Matrix in meinen Augen diagonalisierbar.

Im nachhinein ist mir aufgefallen, dass er die ganze Zeit von einer Jordanbasis gesprochen hat. Ich dachte einfach immer er nennt die Jordan-Normalform einfach anders :D

Gibt es da einen Unterschied zwischen den Begriffen?
Am Anfang haben mein Dozent und ich alles gleich gemacht (char. Pol, Nullstellen...)

Wenn ja, was ist eine Jordan-Basis und wo liegen die Unterschiede?

Vielen lieben Dank im Voraus.

Euer LeMath!


LeMath
Junior
Dabei seit: 04.08.2020
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04 17:22

Oder ist damit einfach die Transformationsmatrix S mit A=S^(-1)*J*S gemeint?

Hier einfach mal die Aufgabe:


A=

0  4 -5
0  0  1
1 -3  5


Ker (A) =

1  3  0 | 0
0 -2  1 | 0
0  0  0 | 0


=> dim (Ker(A)) = 2

=> alg. VF. = geom. VF.

=> diagonalisierbar.

Was habe ich falsch gemacht?


zippy
Senior
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-04 18:10

2020-08-04 17:22 - LeMath in Beitrag No. 1 schreibt:
=> dim (Ker(A)) = 2

Der Kern von $A$ ist der Nullraum, die Dimension also 0.

--zippy


LeMath
Junior
Dabei seit: 04.08.2020
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05 09:41

2020-08-04 18:10 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-08-04 17:22 - LeMath in Beitrag No. 1 schreibt:
=> dim (Ker(A)) = 2

Der Kern von $A$ ist der Nullraum, die Dimension also 0.

--zippy

Ja okay, habe mich verschrieben!

Da sollte stehen:


Ker (A-2*Id) =

Ker (A) =

-2  4  5 | 0
 0 -2  1 | 0 =
 1 -3  3 | 0


1  3  0 | 0
0 -2  1 | 0
0  0  0 | 0


Davon ist der dim(Ker) doch nicht =0, oder?

In meinem vorherigen Beitrag hatte ich dim(Ker)=2 geschrieben, aber mittlerweile bin ich mir doch sicher, dass auch das falsch war. Die Dimension vom Kern von A-2*Id ist nämlich 1.


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-05 09:52

2020-08-05 09:41 - LeMath in Beitrag No. 3 schreibt:
In meinem vorherigen Beitrag hatte ich dim(Ker)=2 geschrieben, aber mittlerweile bin ich mir doch sicher, dass auch das falsch war. Die Dimension vom Kern von A-2*Id ist nämlich 1.

Diese Beobachtung löst dann ja auch dein Problem: Der Kern von $A-2\cdot\operatorname{Id}$ hat die Dimension 1, der von $(A-2\cdot\operatorname{Id})^2$ hat die Dimension 2. Also ist $A$ nicht diagonalisierbar, sondern hat zum Eigenwert 2 ein Jordankästchen der Breite 2.


LeMath
Junior
Dabei seit: 04.08.2020
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06 18:20

Ja das stimmt! Das löst mein Problem :D

Danke dir!




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Druckdatum: 2020-10-24 16:04