Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Urne und Münzwurf
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Math_user
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Themenstart: 2020-08-05 20:55

Guten Abend

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $X$ eine Zufallsvariabel die Poisson verteilt ist mit Parameter $\lambda$ und sei $p \in (0,1)$. Nehmen wir, wir besitzen eine Menge $X$ von Kugeln, welche in 2 Urnen verteilen möchten. Dafür werfen wir für jede Kugel eine Münze, welche die Urne entscheidet. Wenn die Münze mit Wahrscheinlichkeit $p$ fällt, so geht die Kugel in die Urne $A$. Wenn sie mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ fällt, geht sie in die Urne $B$. Dabei sind Münzwürfe sind dabei unabhängig der anderen Kugeln und der Anzahl $X$ Kugeln. Wie ist nun $A$ verteilt?
Die Antwort ist mit einer Poisson Verteilung von Parameter $p\lambda$.
Nun geht der Beweis folgendermassen:
Wir wissen $\mathbb{P}(N=k)=\mathbb{P}(A+B=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ und $\mathbb{P}(A=l|A+B=k)$=${n}\choose{l}$ $p^l(1-p)^{k-l}$. Bis hier ist alles klar aber nun kommt der Clue:  
\[\mathbb{P}(A=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(A=k,B=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k,B=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k|A+B=n+k)\mathbb{P}(A+B=n+k)\] Ich verstehe hier alle 3 Gleichzeichen nicht. Weshalb summieren wir zwischen l und k und nicht von Anfang an und wie komme ich nachher zu allen n? Kann mir jemand bitte weiterhelfen?
Vielen Dank und einen guten Abend


luis52
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-05 22:54

2020-08-05 20:55 - Math_user im Themenstart schreibt:
 Bis hier ist alles klar aber nun kommt der Clue:  
\[\mathbb{P}(A=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(A=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k,B=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k|A+B=n+k)\mathbb{P}(A+B=n+k)\] Ich verstehe hier alle 3 Gleichzeichen nicht. Weshalb summieren wir zwischen l und k und nicht von Anfang an und wie komme ich nachher zu allen n? Kann mir jemand bitte weiterhelfen?
 

Die erste Gleichung ist vermutlich nicht korrekt, mMn aber auch nicht relevant.

$(A=k)=(A=k)\cap\Omega=(A=k)\cap[(B=0)\cup (B=1)\cup\ldots]= [(A=k)\cap (B=0)] \cup [(A=k) \cap (B=1)] \cup \ldots $

so dass $P(A=k)=\sum_{n\ge 0}P(A=k\cap B=n)$.

Weiter ist

$P(A=k\mid A+B=n+k)=\dfrac{P(A=k\cap A+B=n+k)}{P(A+B=n+k)}=\dfrac{P(A=k\cap B=n)}{P(A+B=n+k)}$.

vg Luis
                         


Conny42
Senior
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-05 22:59

Huhu Math_user,

im ersten Schritt sollte es

$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$

heißen. $l$ steht hier für die Gesamtzahl der Kugeln in beiden Urnen und wenn in Urne $A$ $k$ Kugeln sind, gilt $l\geq k$.
Im zweiten Schritt wird der Summationsindex von $l$ zu $n=l-k$ verschoben.
Und im dritten Schritt wird

$\mathbb{P}(A=k,B=n) = \mathbb{P}(A=k, A+B=n+k)$

und die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit verwendet.

Liebe Grüße,
Conny

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Math_user
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06 07:35

Vielen Dank für den Hinweis - im ersten Schritt sollte es wirklich heissen:
$$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$$ Werde es gleich noch ändern. Vielen Dank auch für eure Ausführung, dies  ergibt natürlich Sinn nun. Wenn ich also die Verteilung von $B$ bestimmen möchte, kann ich eigentlich gleich vorgehen. Dass soll heissen:
\[\mathbb{P}(B=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(B=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k,A=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k|B+A=k+n)\mathbb{P}(B+A=k+n)\] Oder sehe ich dies falsch?


luis52
Senior
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-06 09:04

2020-08-06 07:35 - Math_user in Beitrag No. 3 schreibt:
Vielen Dank für den Hinweis - im ersten Schritt sollte es wirklich heissen:
$$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$$ Werde es gleich noch ändern. Vielen Dank auch für eure Ausführung, dies  ergibt natürlich Sinn nun. Wenn ich also die Verteilung von $B$ bestimmen möchte, kann ich eigentlich gleich vorgehen. Dass soll heissen:
\[\mathbb{P}(B=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(B=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k,A=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k|B+A=k+n)\mathbb{P}(B+A=k+n)\] Oder sehe ich dies falsch?
Nein, das kannst du so machen.

vg Luis




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Druckdatum: 2020-10-24 16:51