Forum:  Integration
Thema: Integral dx dx
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Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Themenstart: 2020-08-13 13:57

Hallo,
ich habe eine Frage zur Lösug eines Integrals. Dazu ersteinmal kurz der Weg, wie ich darauf gestoßen bin:

Es handelt sich um ein Problem zur analytischen Berechnung der Nutraumstreuung von Elektromotoren. Dabei wird angenommen, dass das Feld im Nutraum quasi homogen ist und für das umgebende Eisen gilt:
fed-Code einblenden
Der zur Anwendung des Durchflutungsgesetzes notwendige Integrationsweg führt längs einer über die Stelle x verlaufenden Feldlinie. Damit ist das längs des Integrationsweges verlaufende Flußelement:
fed-Code einblenden
Dieses Flusselement ist mit
fed-Code einblenden
Leitern verkettet.

Es folgt:
fed-Code einblenden
Es gilt:
fed-Code einblenden
Damit ergibt sich die Gesamtstreuverkettung zu
fed-Code einblenden

Und hier komme ich nicht weiter. Ich habe im Integral zwei mal die Integrationsvariable stehen. 🤔
Nur wie löse ich so ein Integral?

Hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.


Edit:
Der Fluss ist mit allen z(x) Leitern unterhalb von x verkettet.
Damit ergibt sich
fed-Code einblenden
und das Problem taucht nicht auf.

Aber rein interessehalber, wie behandelt ma ein Integral der Form
fed-Code einblenden
Ist
fed-Code einblenden
und mit
fed-Code einblenden
folgt
fed-Code einblenden
?



Viele Grüße


Ehemaliges_Mitglied
Neu
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-13 15:56

Hallo,

Solche Fragen führen in die Theorie der Differentialformen.
Für die Modellierung wäre es besser erst mal mit Differenzen fed-Code einblenden und Summen zu arbeiten, bevor man zu Differentialen übergeht.

Gruß von BigR2020


Iterator
Junior
Dabei seit: 29.05.2020
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-17 14:20


Ich denke, das sollte man sauber aufschreiben, um es integrieren zu können..

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18 08:40

2020-08-17 14:20 - Iterator in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden


Es ist kein Doppelintegral, denn dann würden die Dimensionen nicht mehr passen, siehe Herleitung.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-18 09:27

Hallo Helix,
2020-08-18 08:40 - Helix in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-08-17 14:20 - Iterator in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden


Es ist kein Doppelintegral, denn dann würden die Dimensionen nicht mehr passen, siehe Herleitung.
Das $\int$-Symbol ändert nichts an der Dimension, die sich nur aus $f(x)\mathrm dx\mathrm dx$ ergäbe. Dein Argument macht daher keinen Sinn.

Ich habe noch nie in meiner schon längeren beruflichen Karriere, Studium mitgerechnet, in der Physik auch nur einen einzigen Fall erlebt, wo nicht exakt genauso viele Integrale vorne wie Differentiale hinten auftreten. Es sei denn, links stünde noch das Differential von irgendwas. Wenn das mal nicht der Fall ist, weiß man, dass man etwas falsch gemacht hat. Das muss auch so sein, denn schließlich geht ja $\mathrm dx\rightarrow 0$, und damit wäre die ganze Gleichung null.
Es kann zwar vorkommen, dass man unterschiedliche Potenzen von Differentialen hat, zum Beispiel, wenn man differentielle Kräftegleichgewichte herleitet (Strömungsmechanik). Aber dann kann man aufgrund des Grenzübergangs gegen null alle höheren Potenzen vernachlässigen und nur die niedrigste Potenz übrig behalten.


Ist
fed-Code einblenden
und mit
fed-Code einblenden
folgt
fed-Code einblenden
Das ist gruselig und das solltest Du bitte ganz schnell wieder vergessen. Iterator hat ja schon zurecht darauf hingewiesen, dass $(\mathrm dx)^2\neq\mathrm d(x^2)$ ist.

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 09:08

2020-08-18 09:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Helix,
2020-08-18 08:40 - Helix in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-08-17 14:20 - Iterator in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden


Es ist kein Doppelintegral, denn dann würden die Dimensionen nicht mehr passen, siehe Herleitung.
Das $\int$-Symbol ändert nichts an der Dimension, die sich nur aus $f(x)\mathrm dx\mathrm dx$ ergäbe. Dein Argument macht daher keinen Sinn.

Ist
fed-Code einblenden
?

2020-08-18 09:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Das ist gruselig und das solltest Du bitte ganz schnell wieder vergessen. Iterator hat ja schon zurecht darauf hingewiesen, dass $(\mathrm dx)^2\neq\mathrm d(x^2)$ ist.

Ist
fed-Code einblenden
?

Viele Grüße


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-19 09:20

Hallo Helix,
an solchen Punkten muss man extrem vorsichtig sein. Es kann Gründe geben, mit $dA$ zu rechnen. Wenn Du aber in zwei "Richtungen" Differentiale hast wie $\mathrm dx$ und $\mathrm dy$, dann entspricht deren Produkt $\mathrm d^2A$.

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 10:58

2020-08-18 09:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Helix,
2020-08-18 08:40 - Helix in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-08-17 14:20 - Iterator in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden


Es ist kein Doppelintegral, denn dann würden die Dimensionen nicht mehr passen, siehe Herleitung.
Das $\int$-Symbol ändert nichts an der Dimension, die sich nur aus $f(x)\mathrm dx\mathrm dx$ ergäbe. Dein Argument macht daher keinen Sinn.

Ist
fed-Code einblenden
?



2020-08-19 09:20 - MontyPythagoras in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn Du aber in zwei "Richtungen" Differentiale hast wie $\mathrm dx$ und $\mathrm dy$, dann entspricht deren Produkt $\mathrm d^2A$.

Wenn ich in zwei Richtungen die Differentiale $dx$ und $dx$ habe, die den Steilängen eine Rechtecks entsprechen, dann gilt für das infinitesimal kleine Flächenelement $dA=dx dy$.
Warum gilt dann nicht $dx dx=dx^2$?






Viele Grüße


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-19 11:29

Hallo Helix,
nochmal:
$$\mathrm dx\cdot\mathrm dx=(\mathrm dx)^2$$Aber:
$$\mathrm dx^2=\mathrm d(x^2)=\mathrm 2x\mathrm dx$$Das ist NICHT das gleiche, denn sonst wäre doch wohl offenkundig
$$2x=\mathrm dx$$was keinen Sinn macht. Das eine ist eine infinitesimale Größe, das andere nicht.

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 12:47

Ich verstehe auf was du hinaus willst.

In der Literatur findet sich $dA=dx dy=d(xy)$.

Dann ist $dx= d(xy)/dy=dA/dy=x$.

Auch hier würde es zu solchem "Unsinn" kommen.

Weshalb scheint die Angabe dann richtig?

Würde bedeuten korrekterweise müsste geschrieben werden:

fed-Code einblenden


?


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-19 12:57

2020-08-19 12:47 - Helix in Beitrag No. 9 schreibt:
In der Literatur findet sich $dA=dx dy=d(xy)$.
Dann ist $dx= d(xy)/dy=dA/dy=x$.
Das ist gruseligst. Wenn das in einem Lehrbuch steht, dann verbrenn es.

2020-08-19 12:47 - Helix in Beitrag No. 9 schreibt:
Würde bedeuten korrekterweise müsste geschrieben werden:
fed-Code einblenden
Naja, eigentlich eher
$$\iint f(A)\mathrm d^2A$$ Aber Du verstehst, worum es geht. Zwei "d"s, zwei Integrale.

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 13:11


2020-08-18 09:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Helix,
2020-08-18 08:40 - Helix in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-08-17 14:20 - Iterator in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden


Es ist kein Doppelintegral, denn dann würden die Dimensionen nicht mehr passen, siehe Herleitung.
Das $\int$-Symbol ändert nichts an der Dimension, die sich nur aus $f(x)\mathrm dx\mathrm dx$ ergäbe. Dein Argument macht daher keinen Sinn.


Wenn
fed-Code einblenden
ist.

Dann hat $dxdx$ eine andere Dimension als $dxdy$




MontyPythagoras
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Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-19 13:16

Hallo Helix,
sei $x$ die Koordinate entlang der längeren Seite meines Schreibtischs, und $y$ selbige entlang der kürzeren Seite. Es kann $x=y$ gelten (zufällig), aber sie können auch unterschiedlich sein. Beide haben die Dimension Länge, und $(\mathrm dx)^2$ hat demnach die gleiche Dimension wie $\mathrm dx\mathrm dy$, nämlich Länge hoch zwei. Was sollte die Dimension damit zu tun haben?

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 13:52

War wohl unglücklich ausgedrückt.

Würde es ein Integral der Form

$\int f(x)dx k(x)dx$ geben (der richtigkeit halber $=dz(x)$ )

und würde das dann, wie vorgeschlagen, als Doppelintegral aufgeschrieben

$\int f(x)dx k(x)dx= \int\int g(x)dxdy$ mit $g(x)=f(x).k(x)$

und wären $x,y$ die Koordinaten eines kartesischen Koordinatensystems.

Dann würde das äußere Integral entlang der falschen Koordinate integriert.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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Beitrag No.14, eingetragen 2020-08-19 14:13

Hallo Helix,
das liest sich ein bisschen wie "Wenn es etwas gäbe, was falsch ist, dann wäre es falsch". Natürlich wäre das so. Deswegen sollte man es ja auch nicht so machen. 🙂
Du musst bedenken, dass es eigentlich mehr als unglücklich ist, zweimal nach x zu integrieren. Das kann man bei unbestimmten Integralen machen, aber schön ist anders. Selbst wenn man zweimal entlang der gleichen Koordinate integrieren will, was bei Dir ja der Fall war, dann sollte man für das innere und das äußere Integral unterschiedliche Integrationsvariablen benutzen. Das bedeutet ja nicht, dass es eine ganz andere Größe wird. Es wäre also sauberer, zu schreiben:
$$\Psi_0=\mu_0l\intop_0^h\intop_0^xk(\xi)\mathrm d\xi \;H(x)\mathrm dx$$So integriere ich zweimal entlang der Koordinate $x$, aber es ist klar geregelt, dass das innere Integral von 0 bis zur Koordinate $x$ läuft, die die Integrationsvariable des äußeren Integrals ist. Wenn Du Spaß daran hast, kannst Du es auch so schreiben:
$$\Psi_0=\mu_0l\intop_0^h\intop_0^xk(\xi)H(x)\mathrm d\xi\mathrm dx$$Das ändert nichts, weil $H(x)$ in Bezug auf das innere Integral als Konstante zu betrachten ist. (Ich hoffe, damit habe ich Dich jetzt nicht verwirrt).

Ciao,

Thomas


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-19 14:23

Es ist, ganz klar, Definitionssache!
Danke für die Atworten🤗




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Druckdatum: 2020-10-26 07:24