Forum:  Holomorphie
Thema: Definition der holomorphen Funktion
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sulky
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Themenstart: 2020-08-29 10:49

Hallo zusemmen,

Ich stolpere über die Definition einer holomorphen Funktion.

Ich erinnere mich, wie bereits in Analysis I die Definition des $lim$ komplett vergessen ging und mir hier auf MP es jemand genau erklärt hat.

Nun wiederholt sich die Frage im Komplexen.

$\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

Nun weiss ich nicht, wie man $z$ gegen $z_0$ gehen lassen kann.


Setzte ich nun: $=\lim_{Re(z)\to Re(z_0)} lim_{Im(z)\to Im(z_0)}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$
So bin ich sehr skeptisch ob dies mathematisch korrekt ist, schliesslich haben wir in der Reelen Analysis gesehen, dass man nicht in jedem Fall die $lim$ vertauschen darf.

Wie lässt man korrekt $z$ gegen $z_0$  laufen?




StrgAltEntf
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-29 13:41

Hallo sulky,

2020-08-29 10:49 - sulky im Themenstart schreibt:
So bin ich sehr skeptisch ob dies mathematisch korrekt ist, schliesslich haben wir in der Reelen Analysis gesehen, dass man nicht in jedem Fall die $lim$ vertauschen darf.

Wie lässt man korrekt $z$ gegen $z_0$  laufen?

Deine Skepsis trügt hier nicht. Um das Vertauschen geht es hier noch nicht einmal. Stichwort: \(\epsilon-\delta\)


Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-29 14:01

Hallo,

Falls jede Folge $z_{n}$ die gegen $z_{0}$ strebt den eindeutigen Grenzwert $f'(z_{0})$ ergibt, spricht man von komplexer Differenzierbarkeit an der Stelle $z_{0}$.

Gruß von BigR2020


sulky
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29 14:40

hallo strglaltenft und BigR

Vielen Dank für eure schnelle antworten.

Also das was BigR gesagt hat deute ich so, dass die Funktion genau dann an $z_0$ komplex differenzierbar ist, wenn sich $z$ auf beliebigem Weg auf einem einfach zusammenhängendem, offenen $\Omega \subset \mathbb{C}$ dem $z_0$ nähern kann.

Dies ist zwar einleuchtend, hilft aber nicht weiter.
Wir wollen ja einfach die opperation $lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0}{z-z_0}$ ausführen können.



Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-29 15:43

Hallo,

Das habe ich nicht gemeint, ich meinte jede Folge $z_{n}$ die gegen $z_{0}$ konvergiert. Das ist die gleiche Definition wie für die relle Differenzierbarkeit im $\mathbb{R}^{2}$. Das konkrete Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit sind die Cauchy Riemannschen DGLn. Da wird dann reelle Differenzierbarkeit auf komplexe Zahlen übertragen.

Gruß von BigR2020


Red_
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-29 20:14

Das ist die gleiche Definition wie für die relle Differenzierbarkeit im $\mathbb{R}^{2}$.

Aufpassen bei der Formulierung. Das besondere an der komplexen Differenzierbarkeit ist, dass wir in der Definition die Multiplikation der komplexen Zahlen mit einbeziehen (wir teilen durch eine komplexe Zahl). Das führt zu der viel stärkeren Bedingung, dass wenn man dies als Matrix auffasst, eine komplexe Zahl in Matrixform erhält (Cauchy-Riemann DGL).
Bei der reellen Version betrachtet man im Nenner lediglich den Betrag (bzw. Norm).

@sulky: Du schreibst du weißt nicht, wie man eine komplexe Zahl \(z\) gegen eine andere komplexe Zahl \(z_0\) laufen lässt?
Ich hoffe ihr hattet metrische Räume. Denn du hast ja eine Metrik auf den komplexen Zahlen \(d(z,z'):=|z-z'|\) (der ganz normale Betrag).
Komplexe Differenzierbarkeit sagt (wie im normalen Fall), wenn du eine beliebige Folge \(z_n\) nimmst, die gegen \(z_0\) konvergiert (aber in keinem Glied selbst \(z_0\)  ist, sonst teilen wir durch 0...), so konvergiert auch \(\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}\) gegen eine bestimmte Zahl. Das wichtige ist: Egal wie deine Folge \(z_n\) aussieht (solange sie gegen \(z_0\) konvergiert und ungleich \(z_0\) ist), soll bei \(\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}\) immer das gleiche Ergebnis rauskommen. Mache dir das z.B. im reellen Fall an \(f(x)=|x|\) klar, dass es in 0 nicht differenzierbar ist, da zwei unterschiedliche Folgen zu unterschiedliche Werte führen (von links und von rechts einmal an die 0 approximieren).
Und wie du bereits richtig sagtest: Eine komplexe Folge \(z_n\) konvergiert gegen \(z_0\) genau dann, wenn Realteil und Imaginärteil der Folge gegen Realteil und Imaginärteil von \(z_0\) konvergiert.
Anschaulich heißt das nur: In der Ebene wählst du dir eine komplexe Zahl \(z_0\) aus und eine Folge, die ab einem bestimmten Glied sehr nahe an \(z_0\) ist (Epsilon-Definition).

Und bei dem limes Prozess gehst du nicht von zwei Limiten aus, sondern von einem innerhalb der komplexen Zahlen. Der Ausdruck \(\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}\) ist ja selbst eine Folge in den komplexen Zahlen und du guckst, ob dieser konvergiert.
Ich hoffe ich konnte helfen. Was du also nochmal nachschlagen solltest:
-Anschauung der reellen Differenzierbarkeit im eindimensionalen Fall, dann im höher dimensionalen Fall
-metrische Räume und Konvergenz (auch via Anschauung veranschaulichen, damit du eine intuitives Verständnis von diesen Objekten erhälst und versteht, warum sie so definiert wurden, wie sie definiert sind).


Vercassivelaunos
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-29 20:21
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Hallo sulky,

die Definition des Grenzwertes einer Funktion hängt nicht von deren spezifischem Definitions- und Wertebereich ab. Rein von der Intuition her lautet die Definition: wenn $x$ ausreichend nah an $x_0$ liegt, dann liegt $f(x)$ beliebig nah an $y$. Das notiert man kurz als

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=y.\]
Dann muss nur noch festgelegt werden, was man unter beliebig nah und ausreichend nah versteht. Es läuft darauf hinaus, dass $\vert y-f(x)\vert$ beliebig klein gemacht werden kann, wenn $\vert x-x_0\vert$ ausreichend klein ist. Also: man kann $f(x)$ in einen Kreis mit Zentrum $y$ und beliebig kleinem Radius $\varepsilon$ zwingen, indem man $x$ aus einem Kreis mit Zentrum $x_0$ wählt, dessen Radius $\delta$ klein genug gewählt ist.

Beachte, dass hier in keinster Weise davon ausgegangen wurde, dass die auftauchenden Größen reell sind. Sie funktioniert genauso gut für komplexe Zahlen. Dieses Bild des Grenzwertes solltest du im Kopf haben, dann sollte die Definition der komplexen Differenzierbarkeit kein größeres Problem darstellen, als die der normalen, reellen Differenzierbarkeit.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Druckdatum: 2021-03-08 00:43