Forum:  Terme und (Un-) Gleichungen
Thema: Summe von Exponentialfunktionen
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Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
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Themenstart: 2020-09-22 11:23

Hallo,

ich habe eine Frage zu dem Gleichnis: ae^(xi)+be^(yi)=ce^(zi)
i ist die Lauvariable und die Koeffizienten a,b,x,y sind gegeben.
Auf nummerischen Wege lassen sich die Koeffizienten c und z bestimmen.
Ich konnte mir die Frage, ob man die Koeffizienten auch analytisch bestimmen kann nicht beantworten.
Weiß dazu jemand Rat?

Gruß
Helix


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-22 11:49
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ist das so gemeint:

\[a\cdot e^{x_i}+b\cdot e^{y_i}=c\cdot e^{z_i}\]
?

Falls ja: dann wird das schon aus dem Grund nicht gehen, als \(c\) und \(z_i\) ja durch die linke Seite gar nicht eindeutig festgelegt werden.

Was ist denn der Hintergrund deiner Frage?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Zahlentheorie' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]
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Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
Mitteilungen: 20
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 12:14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Diophant,

es ist so gemeint, i ist die Veränderliche.

\[a\cdot e^{x\cdot i}+b\cdot e^{y\cdot i}=c\cdot e^{z\cdot i}\]
De Frage ist, ob sich zwei überlagerte e-Funktionen mit untersch. Zeitkonstanten, durch eine e-funktion mit nur einer ausdrücken lässt.
Bzw. ob sich die Koeffizienten der rechten Seite analytisch bestimmen lassen?
Für a=1; b=1; x=1/33; y=1/66 lässt sich nummerisch c≈1,9839 und z≈0,02389 bestimmen.

VG
Helix
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5262
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-22 12:22

Hallo,

ok, dann hatte ich es falsch verstanden.

Dennoch verstehe ich noch nicht einmal, wie du auf die errechneten Werte für c und z kommst. Mal angenommen, a und b seien positiv. Dann lässt sich (bei gegebenem i) für jedes reelle z ein positives c finden, so dass die Gleichung erfüllt ist. Das gleiche gilt sinngemäß aber auch für den Fall, dass die linke Seite Null ist oder negativ.

Vor dem Hintegrund erschließt sich mir die Frage nach einer analytischen Lösung wie gesagt nicht.

Nachtrag: als Funktionen von i aufgefasst funktioniert es definitiv nicht.


Gruß, Diophant


Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
Mitteilungen: 20
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 14:50

Hallo,

ich hatte die Koeffizienten der Funktion der rechten Seite über die Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt bzw. angefittet. Das ganze aber nur für einen relativ kleinen Bereich. Für diesen Bereich gab es eine gute Übereinstimmung. Allerdings fiel mir dann später auf, dass außerhalb dieses Bereichs der Fehler immer größer wurde. Daher erübrigt sich meine ursprüngliche Frage wohl. Als Näherung für einen kleinen Bereich aber praktikabel.


Zum Nachtrag. Welche Logik liegt dem zugrunde, dass es als f(i) nicht funktioniert? Würden z und/oder c abhängig von i sein, gäbe es eine Lösung?

VG
Helix


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27577
Aus: Hessen
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22 14:53

Hi Helix

Du könntest die Summanden auf der linken Seite in Taylorreihen (der gewünschten Genauigkeit) entwickeln und addieren.
Aber eine Summe zweier Exponentialfunktionen gibt als geschlossenen Ausdruck, wie du ihn möchtest, nicht.

Gruß vom ¼

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5262
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-22 14:57
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-22 14:50 - Helix in Beitrag No. 4 schreibt:
Zum Nachtrag. Welche Logik liegt dem zugrunde, dass es als f(i) nicht funktioniert? Würden z und/oder c abhängig von i sein, gäbe es eine Lösung?

Wenn es eine solche Gleichheit geben würde, dann müsste sie auch unter einer beliebiger Anzahl von Ableitungen nach \(i\) gleich bleiben. Damit überhaupt nur an der Stelle \(i=0\) diese Gleichheiten gelten, müssten die Koeffizienten \(a,b,c\) unendlich vielen Gleichungen der Form \(ax^n+by^n=cz^n\) mit \(n\in\IN_0\) erfüllen.

Einfachere Variante: die Potenzgesetze verbieten das.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
Mitteilungen: 20
Aus:
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23 08:17

Geuten Morgen,

ich danke euch für die Antworten.

@1/4
Ich hatte mir die Maclaurinsche Reihe angeschaut, allerdings fällt es dann schwer eine Zeitkonstante z zu bestimmen.

@Diophant
Die 1. Ableitung für die Stelle i=0 ist ax+by=cz.
Ist a,b,x und y gegeben, dann kann füe ein beliebig gewähltes c, z bestimmen und umgekehrt. Das ist es was du meintest?
Das stellt im Grunde die Scnittstelle der beiden Funktionen (linke ud rechte Seite) dar, wobei egal ist, wie stark die Krümmung oder Richtung der rechten Funktion an dieser Stelle ist, richtig?

VG
Helix


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5262
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-23 08:22

Hallo,

2020-09-23 08:17 - Helix in Beitrag No. 7 schreibt:
@Diophant
Die 1. Ableitung für die Stelle i=0 ist ax+by=cz.
Ist a,b,x und y gegeben, dann kann füe ein beliebig gewähltes c, z bestimmen und umgekehrt. Das ist es was du meintest?
Das stellt im Grunde die Scnittstelle der beiden Funktionen (linke ud rechte Seite) dar, wobei egal ist, wie stark die Krümmung oder Richtung der rechten Funktion an dieser Stelle ist, richtig?

nein, falsch. Denn das muss nicht nur für die erste, sondern für unendlich viele Ableitungen gelten. Wie in Beitrag #6 notiert.

Es müsste also möglich sein, dass drei Variablen unendlich viele linear unabhängige Gleichungen erfüllen.

Aus Gründen, die ich jetzt mal als bekannt voraussetze, kann das nicht funktionieren.

Es wird dir hier also immer nur punktweise gelingen. Und wenn man es punktweise angeht, dann sind wie auch schon erläutert c und z nicht eindeutig festgelegt. Man müsste also einen von beiden Werten noch selbst wählen und den anderen dann numerisch annähern.


Gruß, Diophant


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8922
Aus: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-23 08:58
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Helix,

vielleicht willst du die Summe zweier Exponentialfunktionen in einem festen Intervall durch eine andere Exponentialfunktion approximieren? Da gibt es Wege und Methoden, aber es gibt keine Gleichheit (weil die dann auf ganz \( \IR\) gelten müsste).

Du hattest ja \(  e^{1/33\cdot i}+e^{1/66\cdot i}=c\cdot e^{z\cdot i}\).

Wenn man das mal mit \( e^{-1/50\cdot i}\) durchmultipliziert, erhält man

\(  e^{u\cdot i}+e^{v\cdot i}=c\cdot e^{(z-\frac{1}{50})\cdot i}\)

mit \( u=\frac{1}{33}-\frac{1}{50}>0\) und \( v=\frac{1}{66}-\frac{1}{50}<0\)

Die linke Seite geht aber sowohl für \( i\to \infty\) wie auch für \( i\to -\infty\) gegen \( \infty\) - daher kann die rechte Seite keine Exponentialfunktion sein.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

Helix
Junior
Dabei seit: 24.04.2016
Mitteilungen: 20
Aus:
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23 09:36

2020-09-23 08:22 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:

Es wird dir hier also immer nur punktweise gelingen. Und wenn man es punktweise angeht, dann sind wie auch schon erläutert c und z nicht eindeutig festgelegt. Man müsste also einen von beiden Werten noch selbst wählen und den anderen dann numerisch annähern.


Das war es was ich meinte.

@Wally
Danke für das Beispiel, das macht es deutlich.




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Druckdatum: 2020-12-01 05:41