Forum:  Riemannsche Summen
Thema: Verkettung Riemann-integrierbarer Funktionen
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WagW
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Themenstart: 2020-09-26 14:02

Hallo zusammen,

sei $g:[a,b]\to[c,d]$ stetig und $f:[c,d]\to\mathbb{R}$ Riemann-integrierbar.

Warum ist es nicht möglich mithilfe von Ober-und Untersummen zu zeigen, dass $(f\circ g)$ Riemann-integrierbar ist?

Ich habe mal einen Beweis aufgesetzt und frage mich wo da der Fehler
liegt?


Da $f$ Riemann-integrierbar ist gibt es eine Partition $P$ von $[c,d]$, sodass $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$. Sei nun $\delta>0$ die breite des kleinsten Subintervalls $[t_{i-1},t_i]$ von $[c,d]$ welches wir durch die Partition $P$ erhalten.

Sei nun $P':=\{t_0,t_1,\cdots, t_n\}$ eine Partition von $[a,b]$, sodass für alle $i\in \{1, 2,\cdots,n\}$ und $x,y \in [t_{i-1},t_i]$ gilt (aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von $g$):

$$|g(x)-g(y)|\leq |\sup\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]- \inf\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}|<\delta.$$
Jetzt definieren wir $$M_i:=\sup\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}\\m_i:=\inf\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}.$$
Weiter kann ich jetzt einfach eine Partition $P'':=\{d_0,d_1,\cdots d_m\}$ von $g([a,b])$ dadurch definieren indem ich die endlich vielen $M_i$'s and $m_i$'s nehme und entsprechend anordne. Bspw. erhält man für ein $d_j$ dann entweder $d_j=\sup\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}$ oder $d_j=\inf\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}$. Daher gilt für alle $j\in\{1,2,\cdots,m\}$, dass $|d_{j-1}-d_j|\leq\sup\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}-\inf\{g(x)\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}<\delta$. Also ist die Breite jedes Subintervalls, welches ich durch die Partition $P'$ von $[c,d]$ erhalten habe, kleiner als $\delta$. Daher folgt $U(f\circ g, P')-L(f\circ g, P')<U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$ und die Verknüpfung wäre Riemann-integrierbar.

Ich verstehe nicht wo ich was genau falsch gemacht habe, da ja das Ergebnis bekanntermaßen falsch ist.

viele Grüße
WagW





zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-26 20:37

2020-09-26 14:02 - WagW im Themenstart schreibt:
Daher folgt $U(f\circ g, P')-L(f\circ g, P')\color{red}<U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$

Wie kommst du auf das erste "$\color{red}<$"?


WagW
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26 23:51

Hallo zippy,

Also ich dachte, dass die Verkettung $f\circ g$ Funktionswerte liefert, die immer kleiner/gleich sind, als diejenigen Funktionswerte, die ich erhalte wenn ich nur $f$ betrachte. Außerdem wird bei der Verkettung ja nicht unbedingt das komplette Intervall $[c,d]$ getroffen. Aus diesen beiden Gründen komme ich auf das < bzw. $\leq$. Also die Obersumme und Untersumme der Verkettung sind immer kleiner als die Ober und Untersumme wenn ich nur $f$ betrachte.

Viele Grüße
WagW


zippy
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-27 00:15

2020-09-26 23:51 - WagW in Beitrag No. 2 schreibt:
Also die Obersumme und Untersumme der Verkettung sind immer kleiner als die Ober und Untersumme wenn ich nur $f$ betrachte.

Betrachte doch mal für $g$ eine periodische Funktion wie die Dreiecksfunktion $g\colon[0,n]\to[0,1]$, $x\mapsto2\left|x-\left\lfloor x+\frac12\right\rfloor\right|$ mit $n\in\mathbb N$ und für $f$ die Identität auf $[0,1]$. Dann skalieren die Ober- und Untersumme von $f\circ g$ mit $n$, während die von $f$ nicht von $n$ abhängen.

Allein das zeigt doch schon, dass zwischen den Ober- und Untersumme von $f\circ g$ und denen von $f$ keine derartigen Ungleichungen bestehen können.


WagW
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28 20:58

Ah o.k. da habe ich nicht dran gedacht.

Was wäre denn, wenn ich als zusätzliche Annahme an $g$ voraussetzen würde, dass $g$ injektiv oder bijektiv wäre? Dann gilt doch
$U(f\circ g, P')-L(f\circ g, P')<U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$, oder nicht?


zippy
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-29 01:26

2020-09-28 20:58 - WagW in Beitrag No. 4 schreibt:
Was wäre denn, wenn ich als zusätzliche Annahme an $g$ voraussetzen würde, dass $g$ injektiv oder bijektiv wäre?

Ersetze in Beitrag Nr. 3 $g$ durch $g\colon x\mapsto x/n$, dann hast du einen Gegenbeispiel für diesen Fall.


WagW
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 15:54

O.k. ich dachte irgendwie das läge an der Injektivität - anscheinend hatte ich den Kern Deines Gegenbeispiels nicht verstanden.

Aber mittlerweile leuchtet mir ein, dass man meine Aussage bzgl. der Abschätzung so allgemein nicht treffen kann.

Kann ich das folgendermaßen, für die Dreiecksfunktion $f$ bspw., beschreiben:

Selbst wenn für eine gewisse Partition "zufällig" $O(g\circ f,P)-U(g\circ f)\leq O(g,P)-U(g,P)$ gelten sollte, dann kann ich immer noch den Definitionsbereich von $f$ derart vergrößern (bzw. einfach eine andere Dreiecksfunktion angeben), sodass $O(g\circ f,P)-U(g\circ f,P)$ beliebig groß und damit erst recht $O(g\circ f,P)-U(g\circ f,P)>O(g,P)-U(g,P)$ gelten würde.


zippy
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-30 19:09

Dass für eine Riemann-integrierbare Funktion $f$ die Funktion $f\circ g$ nicht mehr Riemann-integrierbar sein kann, liegt – anschaulich gesprochen – daran, dass die noch harmlosen Unstetigkeitsstellen von $f$ durch die Verknüpfung mit $g$ "stärker betont" werden.

Das kann $g$ auf zwei Arten erreichen:
1. $g$ trifft die Unstetigkeitsstellen von $f$ "sehr oft".
2. $g$ ist an den Unstetigkeitsstellen von $f$ "sehr flach".

Für beides gibt es bekannte Beispiele:
1. Hier für ein $g$, das eine einzige Unstetigkeitsstelle von $f$ unendlich oft trifft.
2. Hier für ein injektives $g$, das eine Nullmenge von Unstetigkeitsstellen zu einer Menge mit positivem Maß aufbläht.

Deine Argumentation muss in beiden Fällen scheitern. Mein Gegenbeispiel in Beitrag Nr. 3 hat sich den ersten, das in Beitrag Nr. 5 den zweiten Punkt vorgenommen.


WagW
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 21:23

Danke, für die Erklärung zippy. Das hilft mir schon mal weiter. Ich glaube ich muss mir das nochmal in Ruhe anschauen.
viele Grüße
WagW




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Druckdatum: 2020-12-01 21:16