Forum:  Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Thema: Öltanker *
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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 683
Herkunft: Oberpfalz
Themenstart: 2020-10-16 02:12

Hallo,

trotz Klimawandel hat dieser Öltank noch Füllung mit der Höhe t.


Wie groß ist das Verhältnis ...... Restfläche / Gesamtfläche ?

viel Spaß, und viele Grüße

JoeM



haegar90
Aktiv
Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 540
Herkunft: Gog
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-16 09:56

Falscher Ansatz, basiert auf zyl. Tank.
Stimmt das ?
$$ \frac{R}{G}= \frac{2 r(\pi t + b\cdot \arccos(1-\frac{t}{r}))}{\pi r (4 r +2 b)}$$ Als Restfläche $R$: Die mit Oel benetzte Tankinnenfläche und $G$: Die gesamte Tankinnenfläche.






cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 646
Herkunft: Bierfranken
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-16 10:07

Guten Morgen 😎

Unter den Voraussetzungen, dass mit "Gesamtfläche"
die Gesamtquerschnittsfläche des Öltanks,
und mit "Restfläche" die durch Restfüllung
"abgedunkelte" Teilfläche davon gemeint ist...


für  \(t\leqq r\) :   \(\frac{Restfläche}{Gesamtfläche}\: =\:\frac{b\,\cdot\, t\: +\: r^2\,\cdot\, arcsin\left(\frac{t}{r}\right)\: +\: t\,\cdot\,\sqrt{r^2\, -\, t^2}}{2\,\cdot\, b\,\cdot\, r\: +\:\pi\,\cdot\, r^2}\)

Ich habe   \(\sqrt{r^2-x^2}\)   von  \(0\)  bis  \(t\)  integriert,
um die vom Pegel "eingeschlossenen" Teilkreisflächen
ganz links unten sowie ganz rechts unten auszurechnen...

EDIT Donnerstag, 22-10-2020:
Mein Denkfehler! Obige Integration führt zur Differenz aus Viertelkreis-Flächen und Viertelkreis-Segment-Flächen. Allein letztere sind jedoch zielführend - und eben nicht ihre Differenzen zu Viertelkreisen!


Das Ergebnis ist alles andere als "schön",
aber vielleicht ließe sich noch geschickt substituieren?!

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 683
Herkunft: Oberpfalz
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21 01:42

Hallo,

ich komme auf ein anderes Ergebnis, als in den Beiträgen vorher.

Hat noch jemand einen Vorschlag ?

viele Grüße

JoeM


cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 646
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-21 07:11

😂
JoeM, ich lache mich gerade über meine offensichtlich zu "engstirnige" Betrachtung kaputt, welche mir tatsächlich erst gedämmert ist, als Du mir eine PM/PN geschickt hast...

Welche räumliche Form soll denn der Öltank haben?
Ich war - sorglos - von einem Quader ausgegangen, auf den seitlich je zwei querliegende Halbzylinder "aufgepfropft" sind. In Wirklichkeit ist es aber ja wohl eher ein Zylinder mit zwei jeweils seitlich "aufgepfropften" Halbkugeln?!
Dann wird es etwas kniffliger...

Hier: Füllmenge einer Kugel online berechnen

Hier: Füllmenge einer Halbkugel-Schale online berechnen


cramilu
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Herkunft: Bierfranken
Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-21 09:12

Sollte man sich unabhängig von der räumlichen Gestalt des Öltanks nur auf die Querschnittsfläche konzentrieren, welche sich längs mittig von oben nach unten ergibt, so lässt sich jede gefundene Formel für den Spezialfall   \(t\: =\: r\,\cdot\, \left(1\, -\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)   leicht "von Hand" überprüfen. Da nämlich "zerfällt" der Viertelkreis links unten gedanklich in ein Quadrat mit Flächeninhalt   \(\frac{r^2}{2}\)   und zwei links wie unten "flankierende" Viertelkreissegmente gleicher Gestalt und Größe   \(\frac{r^2}{8}\,\cdot\, (\pi\, -\,2)\)   ...


JoeM
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22 00:46

Hallo,

als Anmerkung:

Der dargestellte Querschnitt ist über die gesamte Länge des Tanks konstant
( es geht somit nur um die jeweiligen Flächen ).

mfG. JoeM


viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-22 03:03

Das ist der Tank:


JoeM
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Herkunft: Oberpfalz
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22 03:39

Hallo viertel,

SUPER- GRAFIK !!

Genauso ist die Frage gemeint.

viele Grüße

JoeM


cramilu
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-22 11:53

Na... dann... 🤔

Müsste folgendes stimmen:


für  \(0\,\leq t\,\leq\, r\) :   \(\frac{Restfläche}{Gesamtfläche}\: =\:\frac{b\,\cdot\, t\: +\:\frac{\pi\,\cdot\, r^2}{2}\: +\: r^2\,\cdot\, arcsin\left(\frac{t\, -\, r}{r}\right)\: +\: (t\, -\, r)\,\cdot\,\sqrt{2\,\cdot\, r\,\cdot\, t\, -\, t^2}}{2\,\cdot\, b\,\cdot\, r\: +\:\pi\,\cdot\, r^2}\)

Ich habe   \(\sqrt{2\,\cdot\, r\,\cdot\, x\, -\, x^2}\)   von  \(0\)  bis  \(t\)  integriert,
um die vom Pegel "eingeschlossenen" Teilkreisflächen
ganz links unten sowie ganz rechts unten auszurechnen...

Das Ergebnis ist noch weniger "schön" als [falsch!] zuvor...


p.s. @viertel:
Deine Grafik ist in der Tat beispielhaft schön!


JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 04:10

Hallo,

ich habe folgenden Vorschlag:


Anmerkung:

Das Ergebnis ist identisch mit dem von cramilu.

viele Grüße

JoeM




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Druckdatum: 2021-01-20 23:42