Forum:  Differentialrechnung in IR
Thema: Ableitung nicht Null => Vorzeichenwechsel
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mhipp
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Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Themenstart: 2020-10-19 15:53

Hi alle zusammen!
Im Folgenden ein eigentlich trivialer Satz, bei dessen formalem Beweis ich mir allerdings sehr schwer tue:

Sei f eine auf IR definierte, stetige und einmal differenzierbare Funktion mit f(x0)=0 und f'(x0) ungleich Null.
Zu zeigen: f "vollzieht" bei x0 einen Vorzeichenwechsel (VZW).

Was ich also beweisen will, ist:
x0 ist Nullstelle mit Ableitung ungleich Null => f hat VZW bei x0.
(Mir ist bewusst, dass die "Rückrichtung" der Implikation (<=) nicht funktioniert; Gegenbeispiel: f(x)=x^3 mit x0=0.)

Sicherlich kann man diese Bahauptung als trivial ansehen, aber mich interessiert es an dieser Stelle tatsächlich, wie man etwas so Offensichtliches beweisen könnte...

Ich freue mich auf Eure Vorschläge/Ideen :)


Herzliche Grüße
Max Hipp


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19 16:00
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

spontan würde ich sagen: betrachte den Differenzenquotienten

\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}\]
für \(h>0\) in einer hinreichend kleinen Umgebung um \(x_0\).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]
\(\endgroup\)

PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2279
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-19 16:03

Hallo Max,

nimm doch mal (im Widerspruch) an, die Funktion $f$ verschwindet zwar in $x_0$, macht dort aber keinen Vorzeichenwechsel. Was sagt das über das Monotonieverhalten der Funktion in einer Umgebung von $x_0$? (Den trivialen Fall $f=0$ können wir ausschließen.) Wie hängt das mit der Ableitung im Punkt $x_0$ zusammen?

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2606
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-19 16:03

Wenn die Ableitung existiert, müssen muss der Grenzwert des Differentialquotienten existieren bzw. eindeutig sein.
Betrachte die Grenzwerte bei Annäherung von rechts und links und überlege was dann für die Funktionswerte rechts bzw. links der Nullstelle gelten muss.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19 16:25

Danke für Eure vielen Antworten, allerdings stecke ich gerade etwas fest.
Ich habe tatsächlich schon versucht, mit dem Differenzenquotienten zu arbeiten, aber es kommt bei mir nichts Brauchbares raus...


PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2279
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-19 16:26

2020-10-19 16:25 - mhipp in Beitrag No. 4 schreibt:
Danke für Eure vielen Antowrten, allerdings stecke ich gerade etwas fest.
Ich habe tatsächlich schon versucht, mit dem Defferenzenquotienten zu arbeiten, aber es kommt bei mir nichts Brauchbares raus...

Solange du nicht genauer schreibst, was du versucht hast, können wir dir nicht weiterhelfen...

Grüße,
PhysikRabe


mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19 16:39

Idee mit Monotoniesatz:

Ist f'(x0) ungleich Null, so ist der Graph von f bei x0 streng monoton (a) fallend oder (b) steigend.
Da f'(x0) ungleich 0 und f' auf IR stetig ist, existiert ein Intervall (eine Umgebung von x0) I=[a;b] mit a<x0<b, sodass für alle i aus I gilt: f'(i) ungleich Null.
Laut Monotoniesatz ist also f auf I streng monoton a) fallend oder (b) steigend. Das heißt:

(a) Für alle i1, i2 aus I mit i1<i2 gilt, dass f(i1)>f(i2) bzw.
(b) Für alle i1, i2 aus I mit i1<i2 gilt, dass f(i1)<f(i2).

Daraus folgt:
Für alle zwei Werte i1 und i2 aus I mit i1<x0<i2, gilt, dass (a) f(i1)>0>f(i2) bzw. (b) f(i1)<0<f(i2), womit nachgewiesen wäre, dass f bei xo einen VZW vollzieht. q.e.d.

Richtig so? :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5739
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-19 16:46

Hallo,

vom Ansatz ist es richtig, aber noch sehr holprig notiert. Dafür war mein Vorschlag mit dem Differenzenquotienten übrigens gedacht...

Es reicht hier weiter aus, o.B.d.A. etwa streng monoton steigende Funktionen zu betrachten und darauf zu verweisen, dass der Beweis für streng monoton fallende F. analog läuft.


Gruß, Diophant


mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19 18:05

Ich bin gerade etwas verloren - wie würde ich es sauber mit dem Differenzenquotienten notieren?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5739
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-19 18:21
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

vielleicht so:

Sei \(h>0\), \(f(x_0)=0\) und \(f\) streng monoton steigend. Dann gilt insbesondere mit dem Monotoniesatz: \(f'(x)\ge 0\) (Gleichheit nur an abzählbar vielen Stellen). Also gibt es eine Umgebung \(I(x_0)\), in der

\[\frac{f(x_0\pm h)-f(x_0)}{h}\gtrless 0\]
und damit (wegen \(h>0\))

\[f(x_0\pm h)-f(x_0)\gtrless 0\]
für alle \(x\neq x_0\in I(x_0)\) gilt.

Auf deutsch: links von \(x_0\) ist \(f\) negativ, rechts davon positiv.

Beweis für den streng monoton fallenden Fall erfolgt analog.

Nachtrag: ich hatte da im Kopf etwas verdreht und beim Abfassen des Beitrags fälschlicherweise angenommen, dass für die Funktion \(f\) strenge Monotonie vorausgesetzt wird (sorry). Die kam aber erst nachträglich ins Spiel.

Dann ist Beitrag #3 von Der Einfaeltige hier der zielführende Tipp.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

zippy
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-19 18:30

2020-10-19 16:46 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Es reicht hier weiter aus, o.B.d.A. etwa streng monoton steigende Funktionen zu betrachten

Man sollte hier gar nicht versuchen, mit Monotonie zu argumentieren, denn für eine in $x_0$ differenzierbare Funktion folgt aus $f'(x_0)>0$ bzw. aus $f'(x_0)<0$ nicht, dass es eine Umgebung von $x_0$ gibt, in der $f$ monton steigend bzw. fallend ist. (Ein Gegenbeispiel findet man z.B. auf mathcounterexamples.net.)

Wie man ohne Monotonie zum Ziel kommt, zeigt Beitrag Nr. 3.


mhipp
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Mitteilungen: 332
Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22 15:56

@zippy (Beitrag #10):

Warum?
Das ist doch der Monotoniesatz (bzw. eine Abwandlung):

Sei f stetig, diffbar.
WENN auf I f'(x)>0, DANN ist auf I der Graph von f streng monoton wachsend.

Allgemein gilt für eine beliebige stetige Funktion g: Ist g(x0)>0, so gibt es ein Intervall [a;b] mit a<x0<b, sodass für alle z aus I g(z)>0.
Beweis: Kann ich auf Nachfrage aufschreiben, ist aber eigentlich trivial.

Daher: Ist f'(x0)>0, so gibt es ein Intervall I=[a;b] mit a<x0<b, sodass für alle z aus I f'(z)>0, daher ist f auf I streng monoton wachsend, also insbesondere in x0... oder?!?


PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2279
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Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-22 20:36

2020-10-22 15:56 - mhipp in Beitrag No. 11 schreibt:
Sei f stetig, diffbar.

"Stetig und differenzierbar" ist nicht das selbe wie "stetig differenzierbar", und strikt positive Ableitung in einem offenen Intervall (wie im Mittelwertsatz) und strikt positive Ableitung in einem Punkt sind ebenfalls unterschiedlich zu behandeln. Ich empfehle das Gegenbeispiel in zippys Link.

Grüße,
PhysikRabe




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Druckdatum: 2021-01-21 12:36