Aufgabe:
Sei M := {z \el\ \IC und es gelte abs(z) < 9 }. 
Bestimme alle Holomorphen Funktionen f: M -> \IC mit folgenden Vorraussetzungen: f(0) = 9 und \forall\ z\el\ M : Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9


Lösung:
Sei f = u + iv und es ex. g \el\ C(\IR,\IR) x |-> 9 + x^9 =>  f = g(v) + iv
Angenommen f sei nicht konstant
M ist ein Gebiet => (Aus Gebietstreue) f ist offen und f(M) ist ein Gebiet

Aber \forall\ w \el\ f(M) \exists\ z \el\ M : w = g(v(z)) + i v(z)
=> Unter \IC ~= \IR^2 ist f(M) Teilmenge des Graphen einer Funktion.
Da Graphen keine nicht leere offene Teilmenge besitzen, ist f konstant auf M.

Also f(z) = 9 konstant auf M
=> f \el\ H(M), Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9 = 9 auf U und f(0) = 9