Forum:  Funktionen
Thema: Funktion gesucht
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mhipp
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Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Themenstart: 2020-10-22 15:51

Hi alle zusammen :)

Ich suche eine (differenzierbare und) stetige Funktion f, sodass für eine Stelle x0 (aus dem Def.bereich) folgende fünf Eigenschaften gelten:

1) f'(x0)=0
2) f' hat bei x0 KEINEN Vorzeichenwechsel (VZW)
3) f''(x0)=0
4) f'' hat bei x0 KEINEN VZW
5) f'''(x0)=0

6) Außerdem soll f (und auch die Ableitungen) KEINE konstante Funktion sein.


Ich habe mich vorhin mit meinem Mathelehrer darüber unterhalten, und wir haben die "üblichen Verdächtigen" (Polynome, Log, Exp, Wurzel, gebrochenrationale, trigonometrische) eigentlich ausgeschlossen.

Fällt euch eine Funktion ein, die alle sechs Eigenschaften (+ Stetigkeit) erfüllt?

Bin sehr gespannt!

Liebe Grüße und Danke schonmal!
Max Hipp


sonnenschein96
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Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 267
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22 16:46

Hallo mhipp,

betrachte z.B. für \(x_0=0\) die Funktion \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definiert durch \(f(x)=0\) für \(x<0\) und \(f(x)=x^4\) für \(x\geq0\). Diese Funktion ist dreimal stetig differenzierbar und weder die Funktion noch eine der Ableitungen ist in einer Umgebung von \(x_0\) konstant. Die Bedingungen 1 bis 5 sind auch erfüllt.


mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22 17:25

Das ist doch schonmal eine nette Lösung, vielen Dank!

Aber zu 100% zufrieden bin ich noch nicht, deine Funktion ist immerhin für x<0 linear...

Ich erweitere also meine Bedingung 6) wie folgt:

6*) Es darf kein Intervall [a;b] mit a<b geben, sodass alle Funktionswerte im diesem Intervall gleich sind. Also: die Funktion darf keine "konstanten Teilfunktionen" enthalten.


Gibt es nun also eine stetige Funktion, die 1)-5) und 6*) erfüllt? 😀


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 267
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22 17:44

Wenn Du forderst, dass \(x_0\) ein innerer Punkt des Definitionsbereiches ist, wirst Du wohl keine Funktion finden, die Dich zufrieden stellt.

Aus 2 und 4 folgt, dass es ein offenes Intervall \(I\) mit \(x_0\in I\) gibt, auf dem \(f'\geq0\) oder \(f'\leq0\) (\(f'\) kein VZW) und \(f''\geq0\) oder \(f''\leq0\) (\(f''\) kein VZW) ist.

Betrachten wird mal den Fall \(f'\geq0\) und \(f''\geq0\). Dann ist \(f'\) monoton wachsend (wegen \(f''\geq0\)) und nichtnegativ. Wegen 1 ist aber \(f'(x_0)=0\). Damit gilt \(0\leq f'(x)\leq f'(x_0)=0\), also \(f'(x)=0\), für alle \(x\in I\) mit \(x<x_0\), also ist \(f\) dort konstant.

Die anderen drei Fälle folgen analog.


mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 332
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22 17:54

Ein schöner Beweis, danke dir!




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Druckdatum: 2021-01-18 05:25