Forum:  Relationen und Abbildungen
Thema: Bijektive Abbildung gesucht zwischen unendlicher Menge A und disjunkter Vereinigung aus A und N
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miwilk
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Dabei seit: 12.10.2020
Mitteilungen: 2
Themenstart: 2020-10-22 18:50

Hallo zusammen!
Gesucht ist eine bijektive Abbildung von einer unendlichen Menge A auf die disjunkte Vereinigung von A und der Menge der natürlichen Zahlen.
Ist A vereinigt N aber nicht "doppelt so mächtig" wie A, da die Vereinigung ja disjunkt ist? Wie soll also eine bijektive Abbildung möglich sein? Aufgrund dieser Abbildung sollen die beiden Mengen (also A und A vereinigt N) angeblich doch gleichmächtig sein, das versteh ich aber nicht ganz🥵


MePep
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Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22 19:29

Hallo!

Ich weiß nicht, ob ich wirklich helfen kann (ich bin leider nicht der begabteste). Aber kannst du vielleicht noch ein wenig mehr erläutern was es mit der Menge A auf sich hat? Hast du lediglich gegeben das A eine unendliche Menge ist, oder auch konkret wie die Elemente von A aussehen oder aus welchen Zahlenbereich(en) sie kommen? (Oder sonst irgendeine Bildungsvorschrift?)

Mfg


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5263
Herkunft: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-22 20:13

Weil $A$ unendlich ist, gibt es eine Teilmenge $T \subseteq A$ mit $|T| = |\IN|$, also $T \cong \IN$. Sei $S \subseteq A$ das Komplement von $T$. Dann gilt also $A  = S \sqcup T \cong S \sqcup \IN$ und damit $A \sqcup \IN \cong S \sqcup \IN \sqcup \IN$. Daher reicht es, eine Bijektion $\IN \cong \IN \sqcup \IN$ zu finden. Tipp dafür: gerade/ungerade Zahlen.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5263
Herkunft: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22 20:15

@MePep: A ist irgendeine unendliche Menge in der Aufgabenstellung.




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Druckdatum: 2021-01-18 05:55