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Thema: Untergruppe mit primzahligem Index ist Normalteiler
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Phoensie
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Themenstart: 2020-10-24 23:24
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Aufgabe: Seien $G$ eine endliche, nichttriviale Gruppe, mit $p$ dem kleinsten Primfaktor von $\mathrm{ord}(G)$, und sei $H<G$ eine Untergruppe mit Index $[G:H]=p$. Zeige, dass $H \triangleleft G$. Nutze dazu die Gruppenoperation der Linkstranslation.

Liebe Matheplanetarier

Ich habe mir zu dieser Aufgabe Folgendes überlegt:

(0) Falls $G$ sogar abelsch ist, folgt die Behauptung umgehend, da alle Untergruppen von abelschen Gruppen Normalteiler sind.

(1) Wenn $\mathrm{ord}(G)<\infty$ ist, dann existiert eine (bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeutige) Primfaktorzerlegung $\mathrm{ord}(G) = \prod_{i=1} p_i$ mit Primzahlen $p_1,\ldots,p_n$. Diese Primfaktoren dürfen wir O.B.d.A. in aufsteigender Reihenfolge indexieren, also $p_1 \leq p_2 \leq \ldots \leq p_n$ mit kleinstem Faktor $p=:p_1 \geq 2$. Ebenso folgert der Satz von Lagrange, dass $\mathrm{ord}(H) | \mathrm{ord}(G)$.

(2) $[G:H]=p \implies G/H = \{g_1H,g_2H,\ldots,g_pH\}$

(3) Definition: Die Linkstranslation sei die Abbildung $G \times G/H \to G/H,\;(g,xH) \mapsto (gx)H$. Ich notiere diese als Verknüpfung $\triangleright$ mit
\[
(g,xH) \mapsto (gx)H \iff g \triangleright xH = (gx)H.
\] Ich habe hier zur Verfügung (aus anderen Aufgaben), dass die Linkstranslation eine transitive Gruppenwirkung ist und dass der Stabilisator des Elements $xH \in G/H$ gegeben ist als \[\mathrm{Stab}_{xH}(G) = \{g \in G \mid g \triangleright xH = xH\} = xHx^{-1}.\]
(4) Die Länge der Bahn $G(xH):=\{g \triangleright xH \mid g \in G\}$ ist durch die Bahnformel und die Klassengleichung gegeben mit $\mathrm{ord}(G(xH)) = [G : \mathrm{Stab}_{xH}(G)] = \mathrm{ord}(H)$.

(5) Abzählformel $\implies \mathrm{ord}(G) = \mathrm{ord}(H) \cdot [G : H] = \mathrm{ord}(H) \cdot p$.


Das ist ein ziemlicher Flickenteppich, und ich blicke nicht wirklich durch, wie ich diese Teile nun zu einem Beweis zusammenbastle. Kann mir jemand einen Rat geben?😁
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Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-25 01:53

Sei $K$ der Kern der Wirkung $G \to \mathrm{Sym}(G/H)$. Es gilt $K \subseteq H$, und wir wollen $K = H$ zeigen.
 
Es ist $G/K$ isomorph zu einer Untergruppe von $\mathrm{Sym}(G/H)$. Also ist $[G:K]$ ein Teiler von ... [ausfüllen] und damit $[H:K]$ ein Teiler von ... [ausfüllen]. Nun musst du die Annahme verwenden, dass $p$ der kleinste Primteiler von $\mathrm{ord}(G)$ ist. Daraus wird dann $[H:K]=1$ folgen.


Phoensie
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 13:17
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Okay, danke Triceratops. Ich stürze mich mal ins Abenteuer:


Beweis.
Seien die Voraussetzungen erfüllt. Sei $K:=\ker(\varphi)$ der Kern des Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \to \mathrm{Sym}(G/H)$. Es gilt $K \subset H$, und zu zeigen ist $K=H$, was äquivalent ist zu $[H:K]=1$. Dann folgt nämlich die Behauptung mit einem Lemma aus der Vorlesung
(Lemma: $\varphi:G \to G'$ homomorph $\implies \ker(\varphi) \triangleleft G$).

$G/K$ ist isomorph zu einer Untergruppe $U < \mathrm{Sym}(G/H)$. Damit ist $\mathrm{ord}(G/K)=\mathrm{ord}(U)$. Weil nach dem Satz von Lagrange
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{ord}(U) \,|\,\mathrm{ord}(\mathrm{Sym}(G/H))
    \end{align*}
\] ist und gleichzeitig
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{ord}(\mathrm{Sym}(G/H)) = \mathrm{ord}(G/H)! = [G:H]! = p!
    \end{align*}
\] gilt, so folgt
\[
    \begin{alignat*}{3}
        &    & \mathrm{ord}(U)   \,&|\, p! \\
        &\iff& \mathrm{ord}(G/K) \,&|\, p! \\
        &\iff& [G:K]     \,&|\, p!
    \end{alignat*}
\] Die Abzählformel impliziert wegen $\mathrm{ord}(G)<\infty$, dass
\[
    \begin{align*}
        [G:H] \cdot \mathrm{ord}(H) = \mathrm{ord}(G) = [G:K] \cdot \mathrm{ord}(K) \qquad \qquad \color{red}{(*)}
    \end{align*}
\] woraus nach Umstellen die Gleichheit
\[
    \begin{align*}
        [H:K]
        = \mathrm{ord}(H/K)
        = \frac{\mathrm{ord}(H)}{\mathrm{ord}(K)}
        \stackrel{\color{red}{(*)}}{=} \frac{[G:K]}{[G:H]}
    \end{align*}
\] folgt. Weil aber $[G:K]$ Teiler von $p!$ ist, muss $[H:K]$ Teiler von $(p-1)!$ sein.

Ich denke, ich bin jetzt fast so weit. $p$ ist kleinster Primfaktor von $\mathrm{ord}(G)$.

Fallunterscheidung:
- Falls $p=2$ ist, folgt $[H:K] \;|\;(2-1)! \iff [H:K] \;|\;1! \iff [H:K]=1$.
- Falls $p>2$ ist, weiss ich noch nicht, wie fertigmachen...🤔🤔
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-25 14:56

Sei $q$ ein Primteiler von $[H:K]$. Was kannst du nun darüber aussagen?


Phoensie
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 21:56
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Wenn $q \geq 2$ ein Primteiler von $[H:K]$ ist, dann ist $q \,|\, (p-1)!$ und $(q+1) \,|\,p!$.

Jetzt müsste ich folgern können, dass wegen der Eigenschaft von $p$ (kleinster Teiler von ord$(G)$) die Gleichheit $q=1$ folgern muss. Ich sehe aber nicht ganz, wie...
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Triceratops
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-25 22:28

Es gilt $q \mid (p-1)!$, ja. (Die Aussage $q+1 \mid p!$ sehe ich nicht. Und die Formel $q \geq 2$ ist irrelevant, jede Primzahl erfüllt das.)

Nun gilt $(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot \dotsc \cdot (p-1)$, und $q$ ist eine Primzahl. Also gilt ...

Du weißt außerdem, dass $q$ ein Teiler von $\mathrm{ord}(G)$ ist, weil ...

Leite nun einen Widerspruch her.


Phoensie
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 23:05
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Wenn $q$ ein Primfaktor von $[H:K]$ ist, dann gilt $q \,|\, (p-1)!$. Daraus folgt $q < p$. Zudem ist $q \,|\,\mathrm{ord}(G)$, weil $K<G$ ist. Widerspruch, da $p$ der kleinste Primfaktor von $\mathrm{ord}(G)$ sein muss nach Voraussetzung.

Also existiert kein Primfaktor für $[H:K]$, und damit folgt $[H:K]=1$.

Stimmt das so?
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Triceratops
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-25 23:11

Ja, richtig.

Aber beim Schluss auf $q < p$ würde ich gerne noch mehr Details sehen. ;-)




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Druckdatum: 2021-01-21 21:47