Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Darstellungsmatrix Projektionsabbildung
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X3nion
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Themenstart: 2020-10-28 19:58

Guten Abend zusammen!

Ich bearbeite gerade die folgende  Aufgabe:

Sei $V = \mathbb{R}^{3}$ , und sei $U = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3} \; | \; x + y - z = 0\}$

1. Zu bestimmen ist ein Unterraum W von V mit $V = U \oplus W$.
2. Sei $f \in End(V)$ definiert durch $f(v) = u$ für alle $v = u + w$ mit $u \in U, \; w \in W$. Zu bestimmen ist eine Basis $V$ von V aus Eigenvektoren von $f$.
3. Zu bestimmen ist $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}$


1. Nun zunächst einmal ist $U = \langle \{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \rangle$. Damit wäre $W = \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle $ ein Unterraum W mit den geforderten Eigenschaften.

2. Sei nun $B = B_{U} \cup B_{W} = \{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \}$.
Bzgl. B ist doch dann die Darstellungsmatrix von f
$\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Dies ist doch aber bereits eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale? Wo soll da noch eine Rechnung erfolgen?
Müsste man noch ausrechnen, dass U und W die jeweiligen Eigenräume zu den Eigenwerten 1 und 0 sind?

Ich würde mich freuen, wenn ihr einen Blick drüber werfen könntet! 🙂

Viele Grüße,
X3nion


ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29 16:01

Hallo,

es sieht alles sehr gut aus. An deiner Stelle hätte ich $W=\langle (1,1,-1)^t\rangle$ ausgesucht, weil es schon bezüglich des Standardskalarproduktes orthogonal auf $U$ steht, aber eigentlich ist es total egal.


X3nion
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30 00:22

Hallo ochen und vielen Dank für deinen Beitrag!

Hmm das Standardskalarprodukt kommt erst später im Skript, deshalb habe ich jetzt nicht daran gedacht.

Was denkst du, würde in Aufgabe 2 noch zu rechnen gelten?
Dass 1 und 0 wirklich Eigenwerte von f sind?

Also sei etwa $v = \lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1}$, also v eine Linearkombination von Vektoren aus U. Dann ist $f(v) = f(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1}) = \lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1} = 1 \cdot (\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2})$ ?

Und dieses Spiel nochmal mit dem Eigenwert 0?

Ich weiß halt nicht, was hier noch zu tun ist, weil alles im Prinzip schon da steht :D

Viele Grüße,
X3nion


ochen
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-30 12:26

Hallo nochmal

2020-10-30 00:22 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:

Ich weiß halt nicht, was hier noch zu tun ist, weil alles im Prinzip schon da steht :D


Dann ist das doch auch gut :)

Vielleicht hast du in den Aufgaben davor  auch schon zu viel gemacht und musst es jetzt nicht mehr beantworten.


X3nion
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 13:58

Alles klar, Danke dir nochmal ochen! :)

Viele Grüße,
X3nion




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Druckdatum: 2021-01-18 05:06