Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Berechnung von Erwartungswert und Varianz (Normalverteilung)
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Juri84
Junior
Dabei seit: 31.10.2020
Mitteilungen: 5
Themenstart: 2020-10-31 12:18

Guten Tag,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich gerade überhaupt keinen Ansatz zur Lösung habe. Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

Aufgrund langjähriger Beobachtungen kann in dem Krankenhaus "Hals und Beinbruch" die Anzahl der behandelten Knochenbrüche im Juli als normalverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden. An 60 % aller Julitage überschreitet die Anzahl den Wert 22 nicht, allerdings sinkt sie auch nur an 10% aller Tage unter 18. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung dieser Zufallsgröße.

1. Das erste was mich wundert ist, wie man die Anzahl der Knochenbrüche pro Tag als stetige Zufallsgröße auffassen kann. Der Juli hat 31 Tage. Damit ist das doch diskret, oder sehe ich das falsch?

2. Die Normalverteilung wird ja durch zwei Parameter \(\mu \)und \(\sigma^2\) charakterisiert. Wie kann man anhand der gegebenen Informationen auf diese Parameter schließen? Das sind ja gerade Erwartungswert und Standardabweichung.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Juri


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 12:41
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Zunächst einnmal hast du mit deiner Anmerkung schon recht, dass es hier eigentlich um eine diskrete Zufallsgröße geht und damit eine geeignete diskrete Verteilung die bessere Wahl wäre.

Seis drum. Hier geht es darum, die fraglichen Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) einer Normalverteilung mit Hilfe der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le 22)=0.6\) und \(P(X<18)=P(X\le 18)=0.1\)* zu berechnen.

Wenn ihr die sog. Stetigkeitskorrektur durchgenommen habt, dann wäre ein besserer Ansatz der aus Beitrag #4 von zippy.

Vermutlich wirst du über eine Tabelle der Standardnormalverteilung verfügen und in deinen Unterlagen solltest du die Transformationsgleichung

\[N=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
finden. Darin ist N standardnormalverteilt und X normalverteilt mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\).

Also: Tabelle hernehmen, die passenden Quantile der Standardnormalverteilung heraussuchen und damit ein Gleichungssystem aufstellen.

* Das können wir hier gleichsetzen, da wir die Zufallsgröße laut Aufgabe als stetig ansehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1450
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-31 12:44

Hallo

Wenn n groß ist, können diskret Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung angenähert werden.

Du kannst ein Gleichungssystem mit den tabellierten Werten aufstellen. Beachte die entsprechenden Gesetze. Welche Hilfsmittel stehen dir zur Verfügung?

Gruß Caban

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-31 12:53

@Caban:
2020-10-31 12:44 - Caban in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn n groß ist, können stetige Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung angenähert werden.

Du meinst diskrete Zufallsvariablen? Und außerdem ist hier ja das Problem, dass n eben nicht groß ist. Die Aufgabe ist ziemlich verunglückt und gehört selbst in das besagte Krankenhaus, das ist der Punkt.


Gruß, Diophant


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1780
Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-31 12:59
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-31 12:41 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hier geht es darum, die fraglichen Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) einer Normalverteilung mit Hilfe der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le 22)=0.6\) und \(P(X<18)=P(X\le 18)=0.1\)* zu berechnen.

Bei der Übersetzung zwischen der diskreten und der stetigen Welt sollte man allerdings die Stetigkeitskorrektur beachten und von$$ P(X\le22\mathord,5)=0\mathord,6\qquad
P(X\le17\mathord,5)=0\mathord,1\;$$ausgehen.
\(\endgroup\)

Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1450
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-31 13:06

Hallo Diophant
stimmt, ich es geändert.

Gruß Caban


Juri84
Junior
Dabei seit: 31.10.2020
Mitteilungen: 5
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 13:39

Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

Die Transformation und die Tabelle hatten wir tatsächlich, aber nicht die Stetigkeitskorrektur.

Wenn ich euch richtig verstehe, bekommt man die folgenden Gleichungen:
\[\Phi(x,\mu,\sigma^2) = P(X<22) = 0,6 = \Phi(0,255)\] \[\Phi(x,\mu,\sigma^2) = P(X<18) = 0,1 = 1-\Phi(1,28) = \phi(-1,28)\]
Mit Hilfe der Transformation folgt dann
\[0,255= \frac{22\cdot \mu}{\sigma}\] \[-1,28= \frac{18\cdot \mu}{\sigma}\]
Und das ist dann das Gleichungssystem, was ich noch lösen muss?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-31 13:46
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

schaue dir mal die Transformationsgleichung nochmal genau an. Dort ist nirgends eine Multiplikation vorgesehen...

Und hast du den Beitrag #4 von zippy gelesen? Falls das bei euch angesprochen wurde, solltest du die Stetigkeitskorrektur wie gezeigt anwenden.

Das Quantil zum Wert \(p=0.1\) passt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-31 14:11

2020-10-31 13:39 - Juri84 in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Transformation und die Tabelle hatten wir tatsächlich, aber nicht die Stetigkeitskorrektur.

Jetzt sehe ich gerade, dass du das mit der Stetigkeitskorrektur schon beantwortet hast.

Mache es zur Sicherheit einmal totzdem, auch wenn es nicht besprochen wurde. Denn eventuell ist diese Aufgabe genau dazu gedacht, dass man sich Gedanken macht, wie man die Normalverteilung möglichst sinnvoll auf den diskreten Fall anwendet. Und dann wäre das vielleicht sogar ein zentraler Punkt, der als Teil der Lösung erwartet wird: dass man die Notwendigkeit für diese Korrektur erkennt.


Gruß, Diophant


Juri84
Junior
Dabei seit: 31.10.2020
Mitteilungen: 5
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 14:59

Hallo Diophant,

ich habe es noch einmal durchgerechnet und alle Tips mit einfließen lassen.

\[Φ(x,μ,σ^2)=P(X<22,5)=0,6=\Phi(0.255, 1,0)\] \[Φ(x,μ,σ^2)=P(X<17,5)=0,1=1−\Phi(1.28)=\Phi(−1.28, 1,0)\]
Mit Hilfe der Transformation folgt dann
\[0,255=\frac{22,5-\mu}{\sigma}\] \[−1,28=\frac{17,5-\mu}{\sigma}\]
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist \(\mu\approx 21,67\) und \(\sigma\approx 3,26\). Das habe ich auch mit der Probe überprüft. Weil ich doch noch etwas am Schwimmen bin: Gibt es eine Möglichkeit für die ganze Aufgabe die Probe zu rechnen? Der Erwartungswert \(\mu\) ist ja zumindest grob in dem Bereich, den ich erwartet hätte.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-31 15:21
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

deine Lösungen sind richtig.

2020-10-31 14:59 - Juri84 in Beitrag No. 9 schreibt:
Gibt es eine Möglichkeit für die ganze Aufgabe die Probe zu rechnen? Der Erwartungswert \(\mu\) ist ja zumindest grob in dem Bereich, den ich erwartet hätte.

Wie meinst du das genau? Du könntest es mit einem Taschenrechner, der die Normalverteilung an Bord hat, nachprüfen.

Oder du programmierst dir eine Simulation. 🙂


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Juri84
Junior
Dabei seit: 31.10.2020
Mitteilungen: 5
Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 17:00

Nun ja, ich versuche immer meine Ergebnisse zu verifizieren oder zumindest zu prüfen, ob sie Sinn ergeben.

Anhand der Aufgabenstellung liegt es nahe, dass der Erwartungswert zwischen 18 und 22 liegen sollte und näher an 22 ist als an 18. Da scheint das Ergebnis zu passen. Bei einem Gleichungssystem wie hier kann man die Lösung einfach mal einsetzen. Nur bei \(\sigma\) stehe ich etwas auf dem Schlauch.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5780
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-31 17:04
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

mein Casio fx-991DE-X liefert mit \(\mu=21.67\) und \(\sigma=3.26\):

\[\ba
P(X\le 22.5)&\approx 0.60048\\
\\
P(X\le 17.5)&\approx 0.10042
\ea\]
Räumt das deine Zweifel aus? 😉

Für die Plausibilitätsprüfung einer berechneten bzw. geschätzen Standardabweichung bräuchte man mehr Datensätze.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Juri84
Junior
Dabei seit: 31.10.2020
Mitteilungen: 5
Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03 10:40

Ja, das tut es. Vielen Dank für deine Hilfe.




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Druckdatum: 2021-01-26 15:59