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mathebauer97
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Herkunft: Österreich
 |  Themenstart: 2020-10-31 18:37
Hallo,
ich wiederhole in meinem LA Skript gerade das Kapitel über Charakteristische Polynome / Minimalpolynome von Endomorphismen. Dort steht folgendes Beispiel:
(Im Folgenden bezeichnen \(\chi(t)\) charakteristische Polynome und \(\mu(t)\) Minimalpolynome.)
In \( \mathbb{R}^{2 \times 1}\) gilt:
Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
ist \(\chi_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\) und \(\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)\)
Das kann ich nachvollziehen - die Nullstellen des Minimalpolynoms unterscheiden sich nicht von denen des charakteristischen Polynoms, es muss aber minimalen Grad besitzen.
Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
ist \(\chi_{f_{X}}(t)=\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\)
Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach müsste das Minimalpolynom doch aussehen wie beim ersten Beispiel. Warum kann ich hier den Grad nicht weiter verringern ?
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1178
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 18:55
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
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\newcommand{\rvert}{\right\vert}
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\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo mathebauer97,
probier es doch einfach mal aus: Setze die Matrix in dein vorgeschlagenes Minimalpolynom ein, und du wirst sehen, dass nicht $0$ rauskommt.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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mathebauer97
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01 18:10
Hallo und vielen Dank für die Antwort,
habe ganz vergessen, dass ich das so machen kann. So wird es natürlich offensichtlich. 😁
Bislang hatten wir das Einsetzen eines Endomorphismus in eine Polynomfunktion nämlich so definiert:
Wenn \(\mu_{f_{X}}(t) = \sum_{i=1}^{k}t^{i}a{i}\),
dann ist \(\mu_{f_{X}}(f)(v) = \sum_{i=1}^{k}f^{i}(v)*a_{i}\)
wobei in dem oben angeführten Beispiel \(v \in \mathbb{R}^{2\times 1}\) wäre.
Kann ich daraus schließen, dass ich ganz einfach die Abbildungsmatrix \(X\) in
\(\mu_{f_{X}}\) einsetzen kann ? Ist doch eigentlich genauso als würde ich die Vektoren der Standardbasis einsetzen, oder ?
lg
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1178
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-01 19:00
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Ja, das kannst du tatsächlich machen. In diesem Fall also
\[\mu_{f_X}(X)=(X-1)^2=\matrix{0&0\\1&0}^2=\matrix{0&0\\0&0},\]
während hingegen einsetzen in das Polynom $p=t-1$ einfach nur $p(X)=\matrix{0&0\\1&0}\neq0$ ergeben würde.\(\endgroup\)
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mathebauer97
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01 20:22
Ich verstehe, besten Dank :)
lg
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