Forum:  Prädikatenlogik
Thema: Beweis für eine plausible Äquivalenz
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Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 10
Themenstart: 2020-10-31 20:51

Ich habe unlängst eine Äquivalenz verwendet, die ich einfach plausibel finde. Dabei geht es für eine reflexive Relation $\sim$ auf einer Menge $X$ um folgendes:

$(\forall x\in X:x\sim x)\Longleftrightarrow ( \forall x,y\in X:x=y\Longrightarrow x\sim y ) $

Die linke Aussage würde ich als Definition der Reflexivität ansehen. Aber die rechte sagt doch genau das gleiche. Wie würde man so etwas beweisen? Oder ist es am Ende gar falsch?


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 21:10

Die Aussage stimmt, auch wenn die Relation nicht reflexiv ist. Beweise sind straight-forward: Man fängt einfach an (etwa an der Struktur der Formeln orientiert), und ehe man es sich versieht, ist man fertig.


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 10
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 21:27

2020-10-31 21:10 - tactac in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Aussage stimmt, auch wenn die Relation nicht reflexiv ist. Beweise sind straight-forward: Man fängt einfach an (etwa an der Struktur der Formeln orientiert), und ehe man es sich versieht, ist man fertig.

Wie dumm von mir, dass ich nicht straight-forward gedacht und einfach angefangen habe. Wenn ich nur wüsste, wie ich mich an der Struktur der Formel orientiere, dann wäre ich bestimmt schon fertig. Wie geht das bloß? Trotzdem danke für deinen Ratschlag.

Übrigens, wenn du nichts zur Sache beitragen möchtest, brauchst du es auch nicht kommentieren.


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1930
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-31 21:47
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
* $A \iff B$ beweist man, indem man $A \implies B$ und $B \implies A$ beweist.
* $A \implies B$ beweist man, indem man $B$ unter der Annahme $A$ beweist.
* $\forall x \in X.\ A$ (wobei $x$ in $A$ frei vorkommen darf) beweist man, indem man $A$ beweist, unter der Annahme ein $x \in X$ zu haben.
* $\forall x, y \in X.\ A$ ist eine Abkürzung für $\forall x \in X. \ \forall y \in X.\ A$.
* Hat man $x = y$ als Annahme, und will $B$ beweisen, wobei $x$ und $y$ in $B$ frei vorkommen dürfen, reicht es $B[y/x]$ zu beweisen.
* Hat man $\forall x \in X.\ A$ als Annahme, dann auch $A[t/x]$, für beliebige Terme $t$, die für Elemente von $X$ stehen.
* $t=t$ gilt für beliebige Terme $t$.
* Mit $A \implies B$ und $A$ als Annahmen kann man $B$ beweisen.
\(\endgroup\)

Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 10
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 22:38

Was ist denn mit $B[y/x]$ und $A[t/x]$ gemeint?


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1930
Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-31 23:12
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-10-31 22:38 - Kaonashi in Beitrag No. 4 schreibt:
Was ist denn mit $B[y/x]$ und $A[t/x]$ gemeint?
Das sind die Formeln, die entstehen, wenn in $B$ jedes freie Vorkommen von $x$ durch $y$ ersetzt wird, bzw. in $A$ jedes freie Vorkommen von $x$ durch $t$.
\(\endgroup\)

tobit09
Aktiv
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 56
Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-01 08:47

Hallo Kaonashi!


Ich führe den von tactac angedeuteten Beweis aus:


$\Rightarrow$:
Gelte $\forall x\in X\colon x\sim x$. (*)
Zu zeigen ist $\forall x,y\in X\colon x=y \Rightarrow x\sim y$.

Seien dazu $x,y\in X$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist $x=y\Rightarrow x\sim y$.

Sei dazu $x=y$ angenommen. (**)
Zu zeigen ist $x\sim y$.

Gemäß (*) gilt $x\sim x$.
Gemäß (**) folgt daraus wie gewünscht $x\sim y$.


$\Leftarrow$:
Gelte $\forall x,y\in X\colon x=y\Rightarrow x\sim y$. (***)
Zu zeigen ist $\forall x\in X\colon x\sim x$.

Sei dazu $z\in X$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist $z\sim z$.

Die Annahme (***) angewandt auf $x:=z$ und $y:=z$ liefert $(x=y\Rightarrow x\sim y)$.
Wegen $z=z$ gilt $x=y$ nach Wahl von $x$ und $y$.
Aus $x=y$ und $(x=y\Rightarrow x\sim y)$ folgt $x\sim y$.
Nach Wahl von $x$ und $y$ bedeutet letzgenannte Aussage nichts anderes als $z\sim z$, was zu zeigen war.


Viele Grüße
Tobias


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1930
Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-01 23:26

Oder, kurz und knapp, als eigentlich Einzeiler: 😁
Lean
variable X: Type
variable R: X  X  Prop
 
local infix ` ~ ` := R
 
theorem of_course: ( x: X, x ~ x)  ( x y: X, x = y  x ~ y) 
:= iff.intro (λ h x y e, e ▸ h x) (λ h x, h x x rfl)
 




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Druckdatum: 2021-01-16 03:45