Das grundsätzlich zu lösende Gleichungssystem, mit den zu den gegebenen Größen gehörenden Standardgleichungen, lautet

$\cdot ~ 4s_c^2=2a^2+2b^2-c^2 \\
\cdot ~  w_\gamma^2 =ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)  \\
\cdot ~ 4h_c^2 =\dfrac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{c^2}$




Diese Rechnung ist allerdings aufwendig. Einfacher ist es auszunutzen, dass die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und zwei Seitenlängen mit der Höhe rechtwinklige Dreiecke bilden.

Sei $|CH|=h$ die Höhe, $|CW|=w$ die Winkelhalbierende und $|CM|=s$ die Seitenhalbierende; sowie $|AH|=x$ und $|BH|=y$ und $|WH|=p$ und $|MH|=q$.



Dann entliest man

· $y=2q+x$

wegen  $|AM|=|BM|
~\Leftrightarrow~
x+q = y-q$.

· $\dfrac{b}{a}=\dfrac{x+p}{y-p}=\dfrac{\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{y^2+h^2}}$

was aus dem Winkelhalbierendensatz (siehe oben) folgt.

$\Rightarrow~ (x+p)^2(y^2+h^2)=(y-p)^2(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
(x^2+p^2+2px)(y^2+h^2) = (y^2+p^2-2py)(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
\underbrace{x^2y^2} + x^2h^2
     +p^2y^2 +\underbrace{p^2h^2}
        +2pxy^2+2ph^2x \\
{}\hspace{20mm}=
\underbrace{x^2y^2} +h^2y^2
    +p^2x^2 +\underbrace{p^2h^2}
      -2px^2y -2ph^2y                  \\
~\Leftrightarrow~
h^2x^2-h^2y^2-p^2x^2+p^2y^2
=
-2ph^2x -2ph^2y
   -2pxy^2 -2px^2y                   \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
   -2p(xy^2+x^2y)                    \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
   -2p xy (x+y)                  \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) \underbrace{(x+y)}
=
-2p\underbrace{(x+y)} (h^2+xy)    
     \hspace{15mm}\small\text{[wobei  $~~~x+y>0$]} \\[1em]
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) + 2p(h^2+xy) = 0      \\[1.5em]$
Mit $y=2q+x$ wird

$-2q(h^2-p^2) + 2p(h^2+x^2+2qx) = 0  %\\
~\Leftrightarrow~
x^2 +2qx +h^2-\dfrac{q (h^2-p^2)}{p} =0$

mit der grundsätzlich positiven Lösung der quadratischen Gleichung

$\underline{\underline{
x=-q +\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}}    }}$

Es wird $x+y = x + (2q+x)   =2x+2q
=2\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}}.$

Mit $c=x+y$ und $p=\sqrt{w_\gamma^2-h_c^2}$  und  $q=\sqrt{s_c^2-h_c^2}$ und $h=h_c$ wird

$\boxed{~~   c = 2\sqrt{   s_c^2 -2h_c^2
                +(2h_c^2-w_\gamma^2)
                    \sqrt{\dfrac{s_c^2-h_c^2}{w_\gamma^2-h_c^2}}   }
~~}$

Aufgrund der Beziehungen $a^2=h^2+y^2$ und $b^2=h^2+x^2$ lassen sich die beiden anderen Seitenlängen direkt mit den Größen $s,w,h$ ausdrücken.

Eine etwas kompaktere Darstellung von $a$ und $b$, in Abhängigkeit von der bereits ermittelten Seitenlänge $c$, erhält man mit Hilfe des Satzes von Apollonius (siehe oben).

Es ist $x=c-y = c-(2q+x) ~\Leftrightarrow~  x=\dfrac{c-2q}{2}$

bzw.  $y=2q+x = 2q + \dfrac{c-2q}{2}
~\Leftrightarrow~  y= \dfrac{c+2q}{2}.$

Wobei $s^2 = q^2+h^2$ gilt.
Nach dem Satz des Apollonius ist

$a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2}  \right)^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~
a^2 +h^2 + y^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}     \\
~\Leftrightarrow~
a^2 +h^2 + \left(\dfrac{c+2q}{2}   \right)^2
            =  2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}     \\[1em]
~\Leftrightarrow~
a^2+h^2 +\dfrac{(c+2q)^2}{4} = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}  \\[1em]
~\Leftrightarrow~
4a^2 +4h^2 + c^2 +4q^2 +4qc = 8s^2 +2c^2  \\
~\Leftrightarrow~
4a^2 +4h^2   +4(s^2-h^2) +4qc = 8s^2 +c^2  \\
~\Leftrightarrow~
4a^2 = 4s^2 +c^2 -4qc = 4s^2 +c^2 -4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em]
\Rightarrow~ \boxed{
~a =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 -4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~     }
$

Ähnlich wie bei der Rechnung für $a$ wird

$a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2}  \right)^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~
a^2+b^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\
~\Leftrightarrow~
4a^2+4b^4 = 8s^2 +2c^2 \\
~\Leftrightarrow~
(4s^2 +c^2 -4qc) +4b^2 = 8s^2 +2c^2 \\
~\Leftrightarrow~
4b^2 = 4s^2 +c^2 +4qc = 4s^2 +c^2 +4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em]
\Rightarrow~ \boxed{
~b =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 +4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~     }
$

Da damit alle Seitenlängen bekannt sind, lassen sich die Innenwinkel mit Hilfes des Kosinussatzes berechnen.

Beispiel: