Forum:  Geometrie
Thema: Dreiecksberechnung
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werner
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Themenstart: 2020-11-12 20:17

nachdem schon so vieles berechnet wurde:

 berechne alle 3ecksgrößen aus h_c , s_c und w_\gamma

und wenn es Spaß macht: konstruiere das 3eck mit ZuL


Caban
Senior
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-12 22:27

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werner
Senior
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12 23:09

auch wenn´s nicht mein weg ist, die Gleichungen stimmen auf jeden Fall 🙂


werner
Senior
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-14 12:22

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Caban
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-14 18:35

Hallo

Das habe ich auch.

Gruß Caban


viertel
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-14 20:51
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
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Dem Ergebnis kann ich mich nicht anschließen. Wenn ich mal von $\gamma=4^\circ$ ausgehe, dann habe ich dieses Bild (zur Konstruktion komme ich später noch, wenn mein Experiment zum Erfolg geführt hat):

Dreieck ist $\triangle ABC$, die Vorgaben $h_c=3\textrm{cm}$, $s_c=5\textrm{cm}$ und $\gamma=4^\circ$ (gelb) sind erfüllt.
Aber es ist $AB=0.5808\textrm{cm}$😲
Oder ich habe die Aufgabe falsch verstanden🙁

Gruß vom ¼

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)

viertel
Senior
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-14 20:59
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Mit $c=\frac{2}{7}\sqrt{343+56\sqrt{7}}=6.332050468$ komme ich auf dieses Bild:
\(\endgroup\)

werner
Senior
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-15 11:23

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deine 2. Zeichnung stimmt


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-15 12:32

2020-11-14 20:51 - viertel in Beitrag No. 5 schreibt:
Oder ich habe die Aufgabe falsch verstanden🙁
Ich hab's doch geahnt 😖


Mano
Junior
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-15 12:51

Hallo,

geht es um das hier?



Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 335
Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-22 16:21

Berechnung der Seitenlängen und der Innenwinkel aus den Größen $h_c,~ s_c,~ w_\gamma$.



Das grundsätzlich zu lösende Gleichungssystem, mit den zu den gegebenen Größen gehörenden Standardgleichungen, lautet

$\cdot ~ 4s_c^2=2a^2+2b^2-c^2 \\
\cdot ~  w_\gamma^2 =ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)  \\
\cdot ~ 4h_c^2 =\dfrac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{c^2}$

Beweis.

Satz des Apollonius.


<math>\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Seiten
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$x$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$y$};
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[red] (C) -- (M) node[midway, left]{$s$};
\path[] (A) -- (M) node[midway, above]{$m$};
\path[] (B) -- (M) node[midway, above]{$m$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =C--M--A};
\draw pic [angle radius=0.11*\c cm,
"$\overline{\varphi}$", draw,
] {angle =B--M--C};

%% Punkte
\foreach \P in {M}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
</math>

Aus dem Schaubild entliest man mit Hilfe des Kosinussatzes

$\begin{array}{l l}
x^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\varphi) \\[2em]
y^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\overline{\varphi}) \\
&= m^2 + s^2 + 2sm\cdot\cos(\varphi)
\end{array}$

da $\cos(\overline{\varphi}) = \cos(\pi-\varphi) = -\cos(\varphi)$; also

$\underline{x^2 + y^2 = 2(m^2 + s^2)}~~~$   (Satz des Apollonius).




Beweis $s_{c}=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}$.

<math>\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Seiten
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$x$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$y$};
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[red] (C) -- (M) node[midway, left]{$s$};
\path[] (A) -- (M) node[midway, above]{$m$};
\path[] (B) -- (M) node[midway, above]{$m$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =C--M--A};
\draw pic [angle radius=0.11*\c cm,
"$\overline{\varphi}$", draw,
] {angle =B--M--C};

%% Punkte
\foreach \P in {M}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
</math>

Nach dem Satz des Apollonius ist $2s^2 = x^2 +y^2 -2m^2$.

Mit $s=s_a$,  $x=b$,  $y=c$  und $m = \dfrac{a}{2}$ wird  

$2s_a^2 = b^2+c^2-2\cdot\dfrac{a^2}{4}$   bzw. $
4s_a^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2$.

Setzt man darin den Kosinussatz ein, wird
$\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= 2b^2 +2c^2 -a^2  \\
&= 2b^2 +2c^2 -\big( b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \big) \\[1em]
&= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}$

Zusatz: Setzt man erneut den Kosinussatz ein, wird

$\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha) \\
&= \big( a^2+2bc\cdot\cos(\alpha) \big) +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1em]
&= a^2+4bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}
$

Damit erhält man für die Seitenhalbierenden die Formeln
$\begin{array}{l l l l}
s_{a}
&=\dfrac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}
&=\dfrac{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha)}}{2}
&=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+bc\cos(\alpha)} \\[1em]
s_{b}
&=\dfrac{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}{2}
&=\dfrac{\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos(\beta)}}{2}
&=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{4}+ca\cos(\beta)}  \\[1em]
s_{c}
&=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}
&=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\gamma)}}{2}
&=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{4}+ab\cos(\gamma)}
\end{array}$


<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\m}{1.7} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{\m*4.7} %
\pgfmathsetmacro{\sb}{\m*3} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{\m*2.7} %

\pgfmathsetmacro{\a}{2*sqrt(-\sa^2+2*\sb^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*sqrt(-\sb^2+2*\sa^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*sqrt(-\sc^2+2*\sb^2+2*\sa^2)/3} %

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
\pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} %
\pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\AHcRes,\hc);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={above}{S}] (S) at ($(A)!2/3!(Ma)$);

\draw[] (A) -- (Ma) node[near start, above]{$s_a$};
\draw[] (B) -- (Mb) node[near start, above]{$s_b$};
\draw[] (C) -- (Mc) node[near start, left]{$s_c$};

% Punkte
\foreach \P in {Ma,Mb,Mc,S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
</math>




Winkelhalbierendensatz.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[midway, right]{$w$};
\path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$};

\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma_1$", double
] {angle =A--C--W};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma_2$", double
] {angle =W--C--B};

\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\chi$",
] {angle =C--W--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\overline{\chi}$",
] {angle =B--W--C};

%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt);

% Annottion - Text
\node[below of=A, yshift=0.25cm, xshift=-7mm,
anchor=north west, align=left,
text width=2.3*\c cm, fill=black!1,
draw=none, font=\normalsize
]{%
};
\end{tikzpicture}
</math>

Sei $w$ eine beliebige Ecktransversale von $C$, welche die gegenüberliegende Seite $c$ in die Teilstrecken $m$ und $n$ unterteilt, dann entliest man der Abbildung mit Hilfe des Sinussatzes

$\dfrac{\sin(\chi)}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{b}{m}$ und $
\dfrac{\sin(\overline{\chi})}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{a}{n}$.

Für die supplementären Winkel bei $W$ ist $
\sin(\overline{\chi}) = \sin(180^\circ -\chi) =\sin(\chi)$; also
$\sin(\chi)=\dfrac{b}{m}\cdot \sin(\gamma_1)
= \dfrac{a}{n}\cdot \sin(\gamma_2) =\sin(\overline{\chi})$. Damit erhält man die allgemeine Beziehung
$$\dfrac{b\sin(\gamma_1)}{a\sin(\gamma_2)} = \dfrac{m}{n}$$
Für den Sonderfall $\gamma_1 =\gamma_2$  ist $w$ die  Winkelhalbierende und man erhält
$$\dfrac{b}{a} = \dfrac{m}{n}$$




Satz von Stewart.

Ist $d$ eine beliebige Ecktransversale der Dreiecksecke $C$, welche die gegenüberliegende Seite $c$ in die Teilstrecken  $m$ und $n$ unterteilt, so ist
${a^2n+b^2m = c\cdot (mn +d^2)}.$

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};

% Ecktransversale
\coordinate[label=below:$D$] (D) at ($(A)!0.234!(B)$);

\draw[red] (C) -- (D) node[midway, right]{$d$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, below]{$n$};

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\overline{\chi}$",
] {angle =C--D--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\chi$",
] {angle =B--D--C};

%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (D) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
</math>

Beweis:

Nach dem Kosinussatz ist

$a^2=n^2+d^2-2dn\cos(\chi) \\[1em]
%
b^2=m^2+d^2-2dm\cos(\overline{\chi})
=m^2+d^2-2dm\cos(180^\circ-\chi) \\
~\Leftrightarrow~
b^2=m^2+d^2+2dm\cos(\chi)
\hspace{15mm}\scriptsize\textsf{[da $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$]} \\[1em]
$

$\begin{array}{l l l}
\Rightarrow &  a^2m + b^2n &= mn^2+m^2n +(m+n)d^2 \\
& &= (m+n)(mn+d^2) \\
& &= c \cdot (mn+d^2)  \hspace{15mm}\square
\end{array}$




Beweis $w_\gamma =\sqrt{ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)}$.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[pos=0.75, right]{$w$};
\path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =A--C--W};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =W--C--B};

\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};

%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
</math>


Nach dem Satz von Stewart ist für die Winkelhalbierende $
{a^2n+b^2m = c\cdot (mn +w^2)}$

$~\Leftrightarrow~
w^2 = \dfrac{a^2n+b^2m}{c}  -mn.$

Andererseits gilt nach dem Winkelhalbierendensatz $
\dfrac{a}{b} = \dfrac{n}{m}.$

$\Leftrightarrow~ m=\dfrac{a}{b}n %\\
~\Rightarrow~
c= m+n = \dfrac{a}{b}n +n
~\Leftrightarrow~
n=\dfrac{bc}{a+b}
$   bzw. $
m =\dfrac{ac}{a+b}.$

$\Rightarrow~ mn = \dfrac{abc^2}{(a+b)^2}.$

$\begin{array}{l l l l}
\Rightarrow   &w^2
   & = \dfrac{a^2n+b^2m}{c}  -mn
   & = \dfrac{a^2 \dfrac{bc}{a+b} +b^2 \dfrac{ac}{a+b}}{c}  
      -\dfrac{abc^2}{(a+b)^2} \\[1em]
&  &  &= \dfrac{a^2b + ab^2}{a+b}
                 -\dfrac{abc^2}{(a+b)^2} \\[1em]
&  &  &= \dfrac{ab(a+b)}{a+b} -\dfrac{abc^2}{(a+b)^2} \\[1em]
&  &  &= ab \left(  1 -\dfrac{c^2}{(a+b)^2} \right) \hspace{15mm}\square
\end{array}$


Zusatz:

Beweis $w_\gamma =\dfrac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b}$.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[pos=0.75, right]{$w$};
\path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =A--C--W};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =W--C--B};

\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};

%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
</math>

Es ist

· Winkelhalbierendensatz:   $\dfrac{b}{a} =\dfrac{m}{n}$

· Kosinussatz:

$n^2=a^2+w^2-2aw\cos(\frac\gamma2) \\
m^2=b^2+w^2-2bw\cos(\frac\gamma2)$

$\Rightarrow~
a^2 m^2  = b^2 n^2 \\
~\Leftrightarrow~
a^2 \bigl( b^2+w^2-2bw\cos(\frac\gamma2) \bigr)  
    = b^2 \bigl( a^2+w^2-2aw\cos(\frac\gamma2) \bigr) \\
~\Leftrightarrow~
a^2b^2   +w^2a^2 -2bw\cos(\frac\gamma2)a^2
    =a^2b^2  +w^2b^2 -2aw\cos(\frac\gamma2)b^2 \\
~\Leftrightarrow~
w^2 (a^2-b^2)    = 2w\cos(\frac\gamma2) (a^2b -ab^2)
\hspace{15mm}  \scriptsize\text{[wobei  $~~w>0$]}   \\
~\Leftrightarrow~
w(a+b)(a-b) =2\cos(\frac\gamma2) ab(a-b)   \\
~\Leftrightarrow~
a=b ~~\lor~~ w(a+b) = 2ab \cos(\frac\gamma2) \hspace{15mm}\square
$



Beweis $w_\gamma =\dfrac{2F}{c\, \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right)}$.

Aus ${w_\gamma =\dfrac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b}}$ wird mit Hilfe der Flächenformeln  ${F
=\frac12 bc \sin(\alpha)
=\frac12 ca \sin(\beta)
=\frac12 ab \sin(\gamma)}$

$\begin{array}{l l l}
w_\gamma
&=\dfrac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b} \\[1em]
&= \dfrac{2 \dfrac{2F}{c\sin(\beta)} \dfrac{2F}{c\sin(\alpha)}
\cos(\frac{\gamma}{2})}{\dfrac{2F}{c\sin(\beta)}+\dfrac{2F}{c\sin(\alpha)}} \\[2.5em]
&=\dfrac{\dfrac{8F^2}{c^2} \dfrac{1}{\sin(\alpha)\sin(\beta)} \cos(\frac{\gamma}{2})}{\dfrac{2F}{c} \left(\dfrac{1}{\sin(\alpha)} + \dfrac{1}{\sin(\beta)}\right)} \\[2.5em]
&= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\cos(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} \\[2em]
&= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\cos\left(\frac{180^\circ-(\alpha+\beta)}{2}\right)}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} \\[2.5em]
&= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} & \scriptsize\textsf{[da $\cos(\frac\pi2-x)=\sin(x)$]} \\[2em]
&= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} & \scriptsize\textsf{[da $\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$]} \\[2em]
&=\dfrac{2F}{c\, \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right)} &\square
\end{array}$



Damit hat man für die Winkelhalbierenden die Formeln

$\begin{array}{l l l l}
w_\alpha
&=\dfrac{2bc\cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}
&=\dfrac{2F}{a\cos\left( \frac{\beta -\gamma }{2} \right)}
&=\sqrt{bc \left( 1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}   \right)} \\[1.5em]
w_\beta
&=\dfrac{2ca\cos(\frac{\beta}{2})}{c+a}
&=\dfrac{2F}{b\cos\left( \frac{\gamma -\alpha }{2} \right)}
&=\sqrt{ac \left( 1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2}   \right)} \\[1.5em]
w_\gamma
&=\dfrac{2ab\cos(\frac{\gamma }{2})}{a+b}
&=\dfrac{2F}{c\cos\left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)}
&=\sqrt{ab \left( 1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}   \right)}
\end{array}$



Beweis $F=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4} =\frac12 ch_c$.

$\begin{array}{l l l}
F^2
&= \bigl(\frac12 bc\sin(\alpha) \bigr)^2 \\[1em]
&= \dfrac{b^2c^2 \bigl( 1-\cos^2(\alpha) \bigr)}{4}  & \longleftarrow~~
a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) ~~ \textsf{[Kosinussatz]} \\
&=
\dfrac{b^2c^2 \left( 1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)^2 \right)}{4}  \\
&= \dfrac{  b^2c^2-\dfrac{\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4} }{4} \\[1em]

&= \dfrac{4b^2c^2 -\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4^2}  &\square  \\
\end{array}$

Damit hat man für die Dreiecksfläche die Formeln

${F
=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}
=\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{4}
=\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-b^2)^2}}{4}   }$






Diese Rechnung ist allerdings aufwendig. Einfacher ist es auszunutzen, dass die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und zwei Seitenlängen mit der Höhe rechtwinklige Dreiecke bilden.

Sei $|CH|=h$ die Höhe, $|CW|=w$ die Winkelhalbierende und $|CM|=s$ die Seitenhalbierende; sowie $|AH|=x$ und $|BH|=y$ und $|WH|=p$ und $|MH|=q$.

<math>

% Anzeige
\def\measures{1}% 1  "yes",   0   "no"
\def\values{0}% 1  "yes",   0   "no"

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\hc}{6} %
\pgfmathsetmacro{\wc}{6.5} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{7.5} %

%\pgfmathsetmacro{\hc}{3} %
%\pgfmathsetmacro{\wc}{4} %
%\pgfmathsetmacro{\sc}{5} %

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\wc*\wc-\hc*\hc)}
\pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(\sc*\sc-\hc*\hc)}
\pgfmathsetmacro{\x}{-\q+sqrt(\q*\q-\hc*\hc+\q*(\hc*\hc-\p*\p)/\p)}
\pgfmathsetmacro{\y}{2*\q+\x}
\pgfmathsetmacro{\c}{\x+\y}
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\hc*\hc+\y*\y)}
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\hc*\hc+\x*\x)}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b*\b+\c*\c-\a*\a)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\begin{tikzpicture}[
font=\footnotesize,
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=0:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Hhe
\draw[thick](C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=45:$H_c$](Hc) node[midway, right]{$h_c$};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--A};

% Winkelhalbierende
\draw[thick] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=45:$W_\gamma$](Wc) node[midway, right]{$w_\gamma$};

% Seitenhalbierende
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=45:$M_c$] (Mc) node[midway, right]{$s_c$};

% Bemaung
\pgfmathsetlengthmacro\L{-1.666cm}
\ifnum\measures=1%===================
\begin{scope}[local bounding box=measures]
\draw[densely dashed] (A) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](As);
\draw[densely dashed] (B) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Bs);

\draw[densely dashed] (Hc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Hs)  coordinate[pos=0.6](Hss)  coordinate[pos=0.3](Hsss);

\draw[densely dashed, shorten >=-0.3*\L] (Mc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ms) coordinate[pos=0.6](Mss)  coordinate[pos=0.3](Msss);

\draw[densely dashed, shorten >=-0.6*\L] (Wc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ws)  coordinate[pos=0.6](Wss)  coordinate[pos=0.3](Wsss);

\tikzset{measures/.style={midway, fill=black!1},}
\draw[<->] (As) -- (Hs) node[measures]{$x$};
\draw[<->] (Bs) -- (Hs) node[measures]{$y$};
\draw[<->] (Hsss) -- (Wsss) node[measures]{$p$};
\draw[<->] (Hss) -- (Mss) node[measures]{$q$};
\end{scope}
\else \path[local bounding box=measures] (A) -- (B);%=========
\fi%===================

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\values=1%===================
\node[yshift=-3mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
anchor=north west,
] at (measures.south west) {
$\begin{array}{l l}
h_c = \hc \text{ cm}  &  \\
w_\gamma = \wc \text{ cm}  \\
s_c = \sc \text{ cm}  &  \\ \hline
p = \p \text{ cm}  &  \\
q = \q \text{ cm}  &  \\
x = \x \text{ cm}  &  \\
y = \y \text{ cm}  &  \\  \hline
c = \c \text{ cm}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaaa} \\
\end{array}$
};
\fi%===================
\end{tikzpicture}
</math>

Dann entliest man

· $y=2q+x$

wegen  $|AM|=|BM|
~\Leftrightarrow~
x+q = y-q$.

· $\dfrac{b}{a}=\dfrac{x+p}{y-p}=\dfrac{\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{y^2+h^2}}$

was aus dem Winkelhalbierendensatz (siehe oben) folgt.

$\Rightarrow~ (x+p)^2(y^2+h^2)=(y-p)^2(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
(x^2+p^2+2px)(y^2+h^2) = (y^2+p^2-2py)(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
\underbrace{x^2y^2} + x^2h^2
     +p^2y^2 +\underbrace{p^2h^2}
        +2pxy^2+2ph^2x \\
{}\hspace{20mm}=
\underbrace{x^2y^2} +h^2y^2
    +p^2x^2 +\underbrace{p^2h^2}
      -2px^2y -2ph^2y                  \\
~\Leftrightarrow~
h^2x^2-h^2y^2-p^2x^2+p^2y^2
=
-2ph^2x -2ph^2y
   -2pxy^2 -2px^2y                   \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
   -2p(xy^2+x^2y)                    \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
   -2p xy (x+y)                  \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) \underbrace{(x+y)}
=
-2p\underbrace{(x+y)} (h^2+xy)    
     \hspace{15mm}\small\text{[wobei  $~~~x+y>0$]} \\[1em]
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) + 2p(h^2+xy) = 0      \\[1.5em]$
Mit $y=2q+x$ wird

$-2q(h^2-p^2) + 2p(h^2+x^2+2qx) = 0  %\\
~\Leftrightarrow~
x^2 +2qx +h^2-\dfrac{q (h^2-p^2)}{p} =0$

mit der grundsätzlich positiven Lösung der quadratischen Gleichung

$\underline{\underline{
x=-q +\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}}    }}$

Es wird $x+y = x + (2q+x)   =2x+2q
=2\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}}.$

Mit $c=x+y$ und $p=\sqrt{w_\gamma^2-h_c^2}$  und  $q=\sqrt{s_c^2-h_c^2}$ und $h=h_c$ wird

$\boxed{~~   c = 2\sqrt{   s_c^2 -2h_c^2
                +(2h_c^2-w_\gamma^2)
                    \sqrt{\dfrac{s_c^2-h_c^2}{w_\gamma^2-h_c^2}}   }
~~}$

Aufgrund der Beziehungen $a^2=h^2+y^2$ und $b^2=h^2+x^2$ lassen sich die beiden anderen Seitenlängen direkt mit den Größen $s,w,h$ ausdrücken.

Eine etwas kompaktere Darstellung von $a$ und $b$, in Abhängigkeit von der bereits ermittelten Seitenlänge $c$, erhält man mit Hilfe des Satzes von Apollonius (siehe oben).

Es ist $x=c-y = c-(2q+x) ~\Leftrightarrow~  x=\dfrac{c-2q}{2}$

bzw.  $y=2q+x = 2q + \dfrac{c-2q}{2}
~\Leftrightarrow~  y= \dfrac{c+2q}{2}.$

Wobei $s^2 = q^2+h^2$ gilt.
Nach dem Satz des Apollonius ist

$a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2}  \right)^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~
a^2 +h^2 + y^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}     \\
~\Leftrightarrow~
a^2 +h^2 + \left(\dfrac{c+2q}{2}   \right)^2
            =  2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}     \\[1em]
~\Leftrightarrow~
a^2+h^2 +\dfrac{(c+2q)^2}{4} = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4}  \\[1em]
~\Leftrightarrow~
4a^2 +4h^2 + c^2 +4q^2 +4qc = 8s^2 +2c^2  \\
~\Leftrightarrow~
4a^2 +4h^2   +4(s^2-h^2) +4qc = 8s^2 +c^2  \\
~\Leftrightarrow~
4a^2 = 4s^2 +c^2 -4qc = 4s^2 +c^2 -4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em]
\Rightarrow~ \boxed{
~a =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 -4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~     }
$

Ähnlich wie bei der Rechnung für $a$ wird

$a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2}  \right)^2 \right) \\
~\Leftrightarrow~
a^2+b^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\
~\Leftrightarrow~
4a^2+4b^4 = 8s^2 +2c^2 \\
~\Leftrightarrow~
(4s^2 +c^2 -4qc) +4b^2 = 8s^2 +2c^2 \\
~\Leftrightarrow~
4b^2 = 4s^2 +c^2 +4qc = 4s^2 +c^2 +4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em]
\Rightarrow~ \boxed{
~b =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 +4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~     }
$

Da damit alle Seitenlängen bekannt sind, lassen sich die Innenwinkel mit Hilfes des Kosinussatzes berechnen.

Beispiel:

<math>
% Anzeige
\def\measures{0}% 1  "yes",   0   "no"
\def\values{1}% 1  "yes",   0   "no"

\begin{tikzpicture}[
font=\footnotesize,
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
]
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\hc}{6} %
\pgfmathsetmacro{\wc}{6.5} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{7.5} %

\pgfmathsetmacro{\hc}{3} %
\pgfmathsetmacro{\wc}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{5} %

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\wc*\wc-\hc*\hc)}
\pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(\sc*\sc-\hc*\hc)}
\pgfmathsetmacro{\x}{-\q+sqrt(\q*\q-\hc*\hc+\q*(\hc*\hc-\p*\p)/\p)}
\pgfmathsetmacro{\y}{2*\q+\x}
\pgfmathsetmacro{\c}{\x+\y}
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\hc*\hc+\y*\y)}
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\hc*\hc+\x*\x)}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b*\b+\c*\c-\a*\a)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %


% Dreieckskonstruktion
%\begin{scope}[local bounding box=dreieck]
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=Dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Hhe
\draw[thick](C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=below:$H_c$](Hc) node[midway, left]{$h_c$};
\draw[dashed] (Hc) -- +(-7mm,0) coordinate[](As) -- (A);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--As};

% Winkelhalbierende
\draw[thick] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=below:$W_\gamma$](Wc) node[midway, left]{$w_\gamma$};

% Seitenhalbierende
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=below:$M_c$] (Mc) node[midway, left]{$s_c$};
%\end{scope}

% Bemaung
\pgfmathsetlengthmacro\L{-1.666cm}
\ifnum\measures=1%===================
\begin{scope}[local bounding box=measures]
\draw[densely dashed] (A) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](As);
\draw[densely dashed] (B) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Bs);

\draw[densely dashed] (Hc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Hs)  coordinate[pos=0.6](Hss)  coordinate[pos=0.3](Hsss);

\draw[densely dashed, shorten >=-0.3*\L] (Mc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ms) coordinate[pos=0.6](Mss)  coordinate[pos=0.3](Msss);

\draw[densely dashed, shorten >=-0.6*\L] (Wc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ws)  coordinate[pos=0.6](Wss)  coordinate[pos=0.3](Wsss);

\tikzset{measures/.style={midway, fill=black!1},}
\draw[<->] (As) -- (Hs) node[measures]{$x$};
\draw[<->] (Bs) -- (Hs) node[measures]{$y$};
\draw[<->] (Hsss) -- (Wsss) node[measures]{$p$};
\draw[<->] (Hss) -- (Mss) node[measures]{$q$};
\end{scope}
\else \path[local bounding box=measures] (A) -- (B);%=========
\fi%===================

% Annotationen - Rechnung
\pgfmathsetlengthmacro\W{0.25*\c*1cm}
\ifnum\values=1%===================
\node[yshift=-5mm,  anchor=north west,
draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width=3*\W,
] at (measures.south west) {
$\begin{array}{l l}
h_c = \hc \text{ cm}  & \hspace{\W} \\
w_\gamma = \wc \text{ cm}  \\
s_c = \sc \text{ cm}  &  \\ \hline
%p = \p \text{ cm}  &  \\
%q = \q \text{ cm}  &  \\
%x = \x \text{ cm}  &  \\
%y = \y \text{ cm}  &  \\  \hline
c = \c \text{ cm}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaaa} \\
\end{array}$
};
\fi%===================
\end{tikzpicture}
</math>






ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 28
Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-22 22:34

Hallo  Werner,

willst Du als Ergebnis alle  Werte (ca. 18 ) des Dreiecks erfahren ?

Gegeben  sind  hc = 3, wc = 4  u.sc = 5  und die Berechnung erfolgt
natürlich bei mir immer 15 stellig nach dem Komma.

Gruß  ebikerni


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1533
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-22 22:45

Hallo

Ich denke drei Seiten oder zwei Seiten und ein Winkel reichen werner. Bei Bedarf kann man ja die Formeln für andere Größen nachschlagen.

Gruß Caban


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
Mitteilungen: 2130
Herkunft: österreich
Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 17:08

ich kenne alle Werte auf bliebig viele Stellen genau, da sie Lösungen von (max.) quadratischen Gleichungen sind.
(diese Wissen beschränkt sich leider auf dieses Problem)


ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 28
Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-24 23:22

hallo caban,
in Deinem Beitrag 12 hast Du mitgeteilt :
   " Wie kann ich mit Formeln auf 19 Größen nachschlagen ? "

Löse einmal die Aufgabe für mich :

Gegeben:  ha=13.5   sb=7  wc=9 ( keine Winkel  beteiligt )

Gesucht:  19 Größen des Dreiecks u.a. auch Fläche des Dreiecks und der Radius des Feuerbachkreises.

Viele Grüße von ebikerni
 


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1533
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-24 23:35

Hallo ebikerni

Du hast nmich falsch verstanden. Wenn man die drei Seiten a,b und c oder zwei Winkel und eine der Seiten a,b oder c bekannt ist, kann man alle anderen Größen berechnen. Oder zweí der Seiten a,b und c und ein Winkel wäre möglich.

Gruß Caban


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 335
Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-25 03:27

2020-11-24 23:35 - Caban in Beitrag No. 15 schreibt:
Du hast mich falsch verstanden. Wenn man die drei Seiten a,b und c oder zwei Winkel und eine der Seiten a,b oder c bekannt ist, kann man alle anderen Größen berechnen. Oder zweí der Seiten a,b und c und ein Winkel wäre möglich.

Das wollte er bereits hier nicht einsehen
LinkDreieckberechnung mit 3 Seiten-Mitte-Senkrechten
dass man sich normalerweise auf das Finden der drei Seitenlängen fokussiert, höchstens aus Rechenvorteilen mal einen Misch aus Seitenlängen und Winkeln, da dann alles Weitere daraus folgt und mit dem Problem nur noch wenig zu tun hat.
Höchstens mal im Ausnahmefall aus Eleganzgünden drückt man weitere Größen aus den gegebenen aus (z.B. kann die Dreiecksfläche allein aus den 3 Höhen berechnet werden - auch mal irgendwann Thema).

Abgesehen davon: Python, 15 Stellen hinter dem Komma (unhandliche Zahlen?),... Das hat mit dem Lösen des gestellten Problems auch nichts zu tun; das sind ganz andere Baustellen.


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
Mitteilungen: 2130
Herkunft: österreich
Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 17:57

2020-11-24 23:22 - ebikerni in Beitrag No. 14 schreibt:
hallo caban,
in Deinem Beitrag 12 hast Du mitgeteilt :
   " Wie kann ich mit Formeln auf 19 Größen nachschlagen ? "

Löse einmal die Aufgabe für mich :

Gegeben:  ha=13.5   sb=7  wc=9 ( keine Winkel  beteiligt )

Gesucht:  19 Größen des Dreiecks u.a. auch Fläche des Dreiecks und der Radius des Feuerbachkreises.

Viele Grüße von ebikerni
 
hat aber mitder aktuellen Aufgabe (ha, sa, wa ) nix zu tun und ist auch nicht konstruiebar


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
Mitteilungen: 2130
Herkunft: österreich
Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 10:54

wenn dich der Feuerbachkreisradius so brennend interessiert:


fed-Code einblenden


ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 28
Beitrag No.19, eingetragen 2020-11-27 18:18


 Hallo  Werner,

 Die  Ergebnisse der 19 Elemente des Dreiecks
 
 Eingabe :

 hc       =  3.0
 shb      =  5.0
 whc      =  4.0
 
 Berechnung :

 a    =  3.1137620188228947
 b    =  7.768649667624587
 c    =  6.3320504685524455
 
 alfa  =   22.716239067448345
 beta  =  105.53548328599008
 gama  =   51.74827764656157
 
 ha    =  6.10070753346735
 hb    =  2.445232082587369
 
 wha   =  6.840523570342797
 whb   =  2.525863717145709
 
 sha   =  6.913719109120895
 shb   =  3.131646389442578
 
 msa     =  3.718882866735957
 msb     =  -1.0798096310912195
 msc     =  2.4960473693210323
 
 ri      =  1.1034995595340127
 ru      =  4.031621045431757
 rfb     =  2.0158105227158787
 Fläche  =  9.49807570282867
 
 Kontrolle :

 su  ri+ru         =  5.1351206049657705
 su  msa+msb+msc   =  5.13512060496577
 
 Summe Alpha + Beta + Gamma = 180.0
 
 Die  x y Koordinaten der Dreieckpunkte
 für eine  graph. Darstellung mit allen Elementen.

 aax   =  2.0       aay =  2.0
 bbx   =  8.3       bby =  2.0
 ccx   =  9.2       ccy =  5.0
 end

 So werden die Ergebnisse meines Progamms in einer Liste dargestellt.

 Viele Grüße zum  1. Advent  von  ebikerni


werner
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Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27 18:55

was hat denn das nun wieder mit deiner obigen Aufgabe zu tun???
und bitte erkläre doch, was deine Angaben (hc, shb, whc)  bedeuten sollen!

hoffentlich bringt uns allen das Christkind Erleuchtung 😃




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Druckdatum: 2021-03-05 01:42