Forum:  Maßtheorie
Thema: Sigma-Algebra und Dynkin-Systeme
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cool97
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Themenstart: 2020-11-23 11:56

Es seien (Ωk, Ak) Messräume für k ∈ {1, 2} und
A1 × Ω2 := {A × Ω2 | A ∈ A1} und Ω1 × A2 := {Ω1 × A | A ∈ A2}.

Zeigen Sie:
i) Durch A1 × Ω2 und Ω1 × A2 sind zwei σ-Algebren auf Ω1 × Ω2 definiert.
ii) D := (A1 × Ω2) ∪ (Ω1 × A2) ist ein Dynkin-System.
iii) Gibt es A1 ∈ A1 und A2 ∈ A2 mit ∅ ungleich A1 ungleich Ω1 und ∅ ungleich A2 ungleich Ω2, so ist D keine σ-Algebra.

Hallo, brauche bei der Aufgabe dringend Hilfe, da ich die Punkte für die Aufgabe unbedingt brauche :)

Könnte mir jemand zeigen, wie man die Axiome für ein Dynkin-system

1. Ω∈D
2. A∈D => A^c∈D
3. An disjunkt aus D => ∪An∈D

und eine Sigma-Algebra (Axiome sind ja äquivalent, bis darauf, dass die Folge bei 3 nicht p.d. sein muss) hier konkret auf diese Mengen anwenden kann, ich werde daraus nicht wirklich schlau.


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23 12:07

Hallo,

was hast du denn bisher probiert?
Irgendwas hast du sicherlich schon versucht. :)


cool97
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 12:17

Also,

sowohl bei i) und ii) muss ja gelten, dass Ω∈D, bzw Ω∈ A1 × Ω2 und Ω∈Ω1 × A2 liegen muss, wobei Ω ja das kartesische Produkt Ω=Ω1 × Ω2 ist. Jetzt ist mir aber (genau wie bei den Axiomen 2 und 3) überhaupt nicht klar, wie ich das jetzt formell korrekt aufschreiben kann, da mich die Notationsweise mit den kartesischen Produkten in den Mengenklammern doch recht verwirrt.

Könnte man für Axiom 1 bei ii) zu zeigen evtl so argumentieren, dass Ω=Ω1 × Ω2∈D ist, da D die Vereinigung der beiden kartesischen Produkte mit einmal Ω1  und einmal Ω2 ist?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23 12:27

Grundsätzlich lässt sich der Beweis mit der hier beschriebenen Methode führen.
LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann

Hast du diesen Artikel schon einmal durchgelesen?

Lass uns eins nach dem anderen machen.


i) Durch A1 × Ω2 und Ω1 × A2 sind zwei σ-Algebren auf Ω1 × Ω2 definiert.

Wir wollen also zeigen, dass $A_1\times\Omega_2$ und $\Omega_1\times A_2$ jeweils $\sigma$-Algebren auf $\Omega_1\times\Omega_2$ sind.

Wir prüfen das nach für $A_1\times\Omega_2$. Der andere Nachweis wird dann genau so funktionieren.

1) Wir müssen zeigen, dass $\Omega_1\times\Omega_2$ ein Element von $A_1\times\Omega_2$ ist.

Wie ist die Menge jetzt definiert?
Warum wissen wir, dass wir für $A_1$ auch $\Omega_1$ 'einsetzen' dürfen?

(Hier folge ich der Methode des verlinkten Artikels)


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 12:51

Ok, dass die Nachweise bei der a) analog geführt werden habe ich mir schon gedacht😄

Dass  man für A1 auch Ω1 einsetzen darf könnte doch daraus folgen, dass A1×Ω2 aus der Potenzmenge von Ω=Ω1 × Ω2 stammen muss, oder?

für die 2) muss ja nun für ein A∈A1×Ω2 auch das Komplement aus A1×Ω2 sein, aber wie zeige ich das?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-23 13:12


Dass  man für A1 auch Ω1 einsetzen darf könnte doch daraus folgen, dass A1×Ω2 aus der Potenzmenge von Ω=Ω1 × Ω2 stammen muss, oder?

Ich könnte dir ohne Probleme ein Mengensystem angeben, was aus der entsprechenden Potenzmenge kommt, wo wir aber $\Omega_1$ eben nicht zur Verfügung hätten.

Aber $A_1$ ist ein ganz bestimmtes Mengensystem. Welches?
Und vor allem warum?




[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Maßtheorie' von PrinzessinEinhorn]


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 13:18

Ich weiß wirklich nicht, worauf du in diesem Kontext hinausmöchtest🤔
Genau das, was du mich da gerade fragst ist das, was ich an der Aufgabe wohl nicht verstehe.


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-23 13:28


Es seien (Ωk, Ak) Messräume für k ∈ {1, 2} und
A1 × Ω2 := {A × Ω2 | A ∈ A1} und Ω1 × A2 := {Ω1 × A | A ∈ A2}.

Lass mich das hier noch einmal schöner aufschreiben:

Es seien $(\Omega_k, \mathcal{A}_k)$ Messräume für $k\in\{1,2\}$ und

$\mathcal{A}_1\times\Omega_2:=\{A\times\Omega_2|A\in\mathcal{A}_1\}$ und

$\Omega_1\times\mathcal{A}_2:=\{\Omega_1\times A|A\in\mathcal{A}_2\}$.

Nun habe ich dich in Beitrag No.5 gefragt, was für ein Mengensystem dieses $\mathcal{A}_1$ ist.
Es ist nämlich ein ganz bestimmtes, mit ganz besonderen Eigenschaften, die wir benötigen (ohne diese geht es nicht), um den Beweis zu führen.

Deine Aufgabe ist es also die Definition des Messraumes nachzuschlagen. Womit wir der Methode im verlinkten Artikel folgen. :)

Das ist immer das erste was man tun muss. Sich alle Begriffe, und auch Bezeichnungen klar zumachen. Anders wird man den Beweis nicht führen können.

Jetzt musst du nur den Mut haben, diese Wissenslücken auch aufzufüllen. Ich kann dir dabei helfen, und ich möchte dir auch dabei helfen.
Das setzt aber voraus, dass du mitarbeitest. :)


cool97
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 13:41

Natürlich bin ich bereit auch etwas für die Lösung meiner Frage zu tun :)

Die Definition des Messraums ist mir auch soweit klar, nur habe ich halt Probleme diese auf die Aufgabe anzuwenden

Kann man nun statt dem A1 das Ω1 einsetzen, weil das A1 das dazugehörige Mengensystem auf Ω1 ist, also ist A1 Teilmenge der Potenzmenge von Ω1. Aber was macht das Mengensystem A1 dann so "besonders"?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-23 13:47


Die Definition des Messraums ist mir auch soweit klar

und


was macht das Mengensystem A1 dann so "besonders"?

passen nicht ganz zusammen.

Wie habt ihr denn einen Messraum $(\Omega,\mathcal{A})$ definiert?
Was ist $\mathcal{A}$ in dieser Definition?

(Du musst mir nicht eure Definition aufschreiben, es reicht wenn du die korrekte Antwort weißt)


cool97
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 16:20

Ok, irgendwas mache ich also falsch😂. Ein Messraum ist ja eigentlich nur das Tupel(Ωk,Ak), wobei die Ak´s Mengensysteme auf Ωk sind und die 3 Axiome für eine Sigma-Algebra erfüllen. Also ist das A1 doch nichts anderes als ein Mengensystem auf Ω1 und gleichzeitig eine Sigma-Algebra, oder nicht?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-23 16:24

Ja, genau. $\mathcal{A}_1$ ist eine $\sigma$-Algebra.

Und $\sigma$-Algebren haben ja besondere Eigenschaften.

Aktuell wollen wir zeigen, dass $\mathcal{A}_1\times\Omega_2$ eine $\sigma$-Algebra ist. Dazu muss $\Omega_1\times\Omega_2$ ein Element dieses Mengensystems sein.

Es muss also ein $A\in\mathcal{A}_1$ existieren, mit $A=\Omega_1$.
Denn dann liegt $\Omega_1\times\Omega_2$ in dem Mengensystem und wir hätten diese erste Eigenschaft nachgeprüft.

Die zu beantwortende Frage ist also: Ist $\Omega_1\in\mathcal{A}_1$?

Wenn ja, warum?


cool97
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 16:32

Ω1∈A1 müsste in diesem Fall doch gelten, weil für eine Sigma-algebra A1 auf  Ω1 als erstes Axiom gilt, dass Ω1∈A1 sein muss. Und daraus würde dann die Behauptung Ω1×Ω2 aus A1×Ω2 folgen und damit wäre 1 gezeigt, oder nicht?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-23 16:35

Ja, genau. Sehr gut.

Da darfst du dann auch gerne selbstbewusst sein, und deine Antwort nicht mit einer Frage abschließen.
Es ist wichtig, dass man lernt seinen eigenen Gedanken zu trauen, und du hast hier glasklar aus den Definitionen die zu zeigende Tatsache abgeleitet.

Was ist als nächstes zu zeigen?


cool97
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 16:53

Ok, sehr gut!

für die 2) muss ja nun für ein A∈A1×Ω2 auch das Komplement aus A1×Ω2 sein
Kann man hier dann argumentieren, dass ja gilt A∈A1 und da A1 eine Sigma-algebra, existiert darin ja sicher das Komplement von A, welches dann auch wieder im kartesischen Produkt von A1×Ω2 liegt?!

und für die 3 muss für alle Folgenglieder An ∈ A1×Ω2 auch deren Vereinigung wieder in A1×Ω2 sein, wobei man hier doch eigentlich genau so vorgehen kann, oder?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-23 17:26

Für die 2) müssen wir, wie du richtig sagst, zeigen, dass für ein Element

$A\times\Omega_2\in\mathcal{A}_1\times\Omega_2$ auch das Komplement

$(A\times\Omega_2)^c$ ein Element aus dem kartesischen Produkt ist.

Nun wissen wir, ebenfalls wie du richtig sagst, dass aus $A\in\mathcal{A}_1$ folgt, dass $A^c\in\mathcal{A}_1$ ist.

Nun vermutest du, dass diese Menge bereits unser Problem löst.

Dass also $A^c\times\Omega_2\stackrel{?}{=}(A\times\Omega_2)^c$ gilt.

Versuche diese Vermutung doch nun einmal zu beweisen.

Gezeigt werden muss hier Mengengleichheit.
Wie zeigt man üblicherweise eine Mengengleichheit?


cool97
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Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 22:47

Mengengleichheit zeigt man ja für gewöhnlich über die Teilmengenbeziehungen in jeweils beide Richtungen.
Kann man hier evtl etwas mit De Morgan anfangen, auch wenn hier kein Schnitt oder Vereinigung steht, denn eigentlich müsste Ω2c ja die leere Menge sein, womit die Behauptung nicht stimmen würde🤔


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-23 22:50


eigentlich müsste Ω2c ja die leere Menge sein, womit die Behauptung nicht stimmen würde

Ja, sollte man meinen.

Fang einfach mal an.

Sei $(x,y)\in A_1^c\times\Omega_2$. Jetzt möchten wir gerne zeigen, dass $(x,y)\in (A_1\times\Omega_2)^c$. Wenn das gelingt, haben wir "$\subseteq$" gezeigt.


cool97
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Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 23:23

wenn gilt dass (x,y)∈ ($A_{1}^c$×Ω2) ist, muss x ja aus $A_{1}^c$ sein und y aus Ω2, das danach erschließt sich mir dann nicht...


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.19, eingetragen 2020-11-23 23:40

Nun, es gibt eigentlich nur eine Möglichkeit weiter zumachen. (Vorgehensweise aus dem verlinkten Artikel).

Ist nämlich $x\in A^c$ und $y\in\Omega_2$, so wissen wir erstmal

$x\notin A$ und $y\in\Omega_2$.

Nun hätten wir ja gerne $(x,y)\in(A\times\Omega_2)^c$.

Wenn also $(x,y)\notin A\times\Omega_2$ ist, dann sind wir fertig.

Ist also $(x,y)$ ein Element aus $A\times\Omega_2$, oder nicht.



cool97
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Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 08:38

also wenn gilt dass x ∉ A und y ∈ Ω2, kann (x,y) ja nicht aus A×Ω2 sein, da x logischerweise aus $A^{c}$ sein muss. Folgt hieraus dann schon die Behauptung, dass  (x,y)∈(A×Ω2)^c?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.21, eingetragen 2020-11-24 11:31

Ja, denn $(x,y)\notin A\times\Omega_2$. Denn dazu müsste $x\in A$ sein. Aber $x\notin A$, wegen $x\in A^c$.


cool97
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Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 12:10

Sehr gut, vielen Dank schon mal, damit konnte ich die gesamte Teilaufgabe i) nun lösen!

zur ii)

hier muss man ja zunächst zeigen, dass Ω=Ω1 × Ω2 $\in$ D ist, wobei dies ja aus der Vereinigung eindeutig hervorgeht

Was verwendet man aber nun hier im zweiten Schritt als Menge A $\in$ D, von der auch das $A^{c}$ $\in$ D sein muss?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.23, eingetragen 2020-11-24 12:17

2020-11-24 12:10 - cool97 in Beitrag No. 22 schreibt:
Was verwendet man aber nun hier im zweiten Schritt als Menge A $\in$ D, von der auch das $A^{c}$ $\in$ D sein muss?

Ich verstehe dich nicht so recht.

Du musst ja allgemein zeigen, dass wenn ein $A$ (was ja eigentlich ein Produkt von Mengen bestimmter Form) in $D$, dann auch $A^c$ in $D$.

Du nimmst also eine beliebige Menge aus $D$ und betrachtest dann von dieser Menge das Komplement.


cool97
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Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 12:21

Ich weiß hierbei nicht so recht, wie solch eine Menge A $\in$ D aussehen könnte. Da in D ja jetzt die Vereinigung von zwei Sigma-Algebren gegeben ist, kann man den Beweis ja nicht so schön eindeutig auf eine Sigma-Algebra rückbeziehen wie in Aufgabenteil i)?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.25, eingetragen 2020-11-24 12:34

Es ist $D=\mathcal{A}_1\times\Omega_2\cup\Omega_1\times\mathcal{A}_2$.

Ist nun $A\in D$, so gilt nach Definition der Mengenvereinigung was?


cool97
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Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 12:41

Ist dann A sowohl $\in$ A1 × Ω2, als auch $\in$ Ω1 × A2, wodurch man dann wieder einer ähnlichen Argumentationsweise wie in i) folgen kann und die A´s auf die Sigma-algebren A1 und A2 zurückbeziehen kann und somit folgern kann, dass darin wieder die Komplemente existieren und somit auch ein $A^{c}$ $\in$ D existiert?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.27, eingetragen 2020-11-24 12:44

Gucke nochmal, wie die Mengenvereinigung definiert ist. :)

Wenn $x\in A\cup B$ dann gilt nicht unbedingt $x\in A$ und $x\in B$.

Aber ansonsten geht es in die richtige Richtung.


cool97
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Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 12:50

Stimmt, aber dann kann ich ja eigentlich einfach mein sowohl durch ein oder ersetzen und dann müsste es passen:

Also: Ist dann A entweder ∈ A1 × Ω2, oder ∈ Ω1 × A2, wodurch man dann wieder einer ähnlichen Argumentationsweise wie in i) folgen kann und die A´s auf die Sigma-algebren A1 und A2 zurückbeziehen kann und somit folgern kann, dass darin wieder die Komplemente existieren und somit auch ein Ac ∈ D existiert?

Und auf die gleiche Weise kann man dann ja zeigen, dass auch die Vereinigung p.d. Mengen ∈ D ist, womit die Aufgabe ii) gelöst wäre?! (hier müsste man dann aber unterschiedliche Indizierungen in den zwei Sigma-Algebren wählen, denke ich)


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.29, eingetragen 2020-11-24 16:03

Dann probiere deine Gedanken doch einmal in einem Beweis sauber aufzuschreiben. :)


cool97
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Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 17:10

Also nehme ich mal an, dass mein Gedankengang richtig ist :)

wenn A $\in$ D --> A $\in$ A1 × Ω2 oder A $\in$ Ω1 × A2 --> A $\in$ A1 oder A $\in$ A2 --> $ A^{c}$ $\in$ A1 oder $ A^{c}$ $\in$ A2 --> $ A^{c}$ $\in$ A1 × Ω2 oder $ A^{c}$ $\in$ Ω1 × A2 --> Behauptung

Für die Vereinigung p.d. Mengen geht das ja dann genauso, hier erspare ich mir dann das Aufschreiben :)

Hoffe, dass das soweit stimmt, dann würde mir nur noch eine Idee bei iii) fehlen. Hierbei muss man ja dann darüber argumentieren, dass die A1 und A2 p.d. sein MÜSSEN, da ja ansonsten auch die Voraussetzungen für eine Sigma-Algebra erfüllt sein müssten, oder?


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.31, eingetragen 2020-11-24 17:17


wenn A ∈ D --> A ∈ A1 × Ω2 oder A ∈ Ω1 × A2 --> A ∈ A1 oder A ∈ A2 --> Ac ∈ A1 oder Ac ∈ A2 --> Ac ∈ A1 × Ω2 oder Ac ∈ Ω1 × A2 --> Behauptung

Wenn $A\in \mathcal{A}_1\times\Omega_2$ (oder in dem anderen Produkt), dann ist $A$ ein Produkt von Mengen. Also kann dann nicht $A\in\mathcal{A}_1$ liegen, weil das natürlich grundverschiedene Mengen sind.

Ist $A\in\mathcal{A}_1\times\Omega_2$, dann ist $A$ von der Form $A_1\times\Omega_2$ für ein $A_1\in\mathcal{A}_1$ (hier entpuppt sich der gewählt Bezeichner $A$ als unkonfortabel, man sollte diese Menge wohl von vornherein als ein Produkt von Mengen darstellen, um klar zu machen, dass es sich um ein Element aus einer Produktmenge handelt).

Nun ist $\mathcal{A}_1$ nach wie vor eine $\sigma$-Algebra. Also $A_1^c\in\mathcal{A}_1$.

Jetzt wäre wieder zu zeigen, dass $A^c$ ein Element deiner Menge ist.


cool97
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Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 17:28

ok, das verwirrt mich jetzt...

wenn $A_{1}^{c}$ ∈ SkriptA1 dann hat man doch ein $A^{c}$ ∈ A1 × Ω2 mit der Form ∈ $A_{1}^{c}$ × Ω2, oder nicht?

Tschuldige für die wilde Form, bin noch nie mit der Formelschreibweise klargekommen


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.33, eingetragen 2020-11-24 17:32

Solange ich verstehe was du meinst, ist alles gut.
Ansonsten kannst du auch in meinen Beiträgen auf zitieren klicken, und dir die Formeln angucken, oder einfach rauskopieren.

Ansonsten hast du recht. Dass dies so ist, haben wir ja auch schon einmal bewiesen. Aber es (meines erachtens) nicht selbstverständlich.


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 17:37

ok, dann schreibe ich mir das gleich noch schön auf, aber dann passt das!

dann nur noch zur iii)
Hierbei muss man ja dann darüber argumentieren, dass die A1 und A2 p.d. sein MÜSSEN, da ja ansonsten auch die Voraussetzungen für eine Sigma-Algebra erfüllt sein müssten, oder?


PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.35, eingetragen 2020-11-24 17:58


dann nur noch zur iii)
Hierbei muss man ja dann darüber argumentieren, dass die A1 und A2 p.d. sein MÜSSEN, da ja ansonsten auch die Voraussetzungen für eine Sigma-Algebra erfüllt sein müssten, oder?

Meinst du jetzt $A_1, A_2$ als Elemente der Mengensystem, oder $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$, also die entsprechenden $\sigma$-Algebren.

Ansonsten verstehe ich nicht ganz wie du auf diese Annahme kommst.

Ich würde erstmal aus dem was gegeben ist, versuchen abzuleiten, dass irgendein Axiom der $\sigma$-Algebra auf $D$ nicht mehr zutreffen kann, ohne dass irgendwelche weiteren Annahmen gemacht werden.

Wenn sich dann herausstellt, dass es zu Schwierigkeiten kommt, dann kann man immer noch schauen, wie sich diese umgehen lassen.
Dass hier irgendetwas paarweise disjunkt ist, ist kein Teil der Aufgabe.


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 18:54

Der Widerspruch kann ja nur im dritten Axiom sein, da dort der einzige Unterschied zwischen einer Sigma-algebra und einem Dynkinsystem besteht und mit A1 und A2 meine ich hier p.d. Folgen.

Oder verstehe ich hier was falsch?


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 18:57

Als Beispiel könnte man ja (auch wenn es leider nicht zu der Aufgabe hier passt) anführen, dass nicht jedes Dynkin-system eine Sigmaalgebra ist, wie bspw. von Wikipedia:

 Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel[1] für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist M = { ∅ , { 1 , 2 } , { 3 , 4 } , { 1 , 4 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } } auf der Grundmenge Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 }  Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht Schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.


PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.38, eingetragen 2020-11-24 18:59

Sorry, ich hatte dich vorhin etwas falsch verstanden.

Du hast wohl gemeint, dass unter den genannten Voraussetzungen es daran scheitern muss, dass paarweise disjunkte Vereinigungen nicht mehr notwenigerweise in $D$ liegen müssen.

Tut mir leid, da war ich nicht ganz bei der Sache.


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24 19:13

Das ist kein Problem, passiert mir auch öfters :)

Könntest du mir denn noch einen Tipp diesbezüglich geben, bzw. ist mein Gedankenansatz soweit richtig?


PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.40, eingetragen 2020-11-24 23:57

Deine Idee, dass der Widerspruch nur im dritten Axiom entstehen kann, ist korrekt.

Mit einem Tipp kann ich leider aktuell nicht dienen, weil ich es selber gerade nicht sehe, wie es scheitert. Tut mir leid.

Wir haben $A_1$ und $A_2$ mit gewissen Eigenschaften gegeben, und du weißt/vermutest, dass irgendwas mit dem Vereinigen schiefgehen wird.

Dann kannst du doch erstmal

$(A_1\times\Omega_2)\cup (\Omega_1\times A_2)$ untersuchen.

Ich sehe gerade aber nicht, warum das kein Element mehr von $D$ sein sollte, bzw. was bessere Mengen sind, die man sich ansehen könnte...


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 08:58

Erfüllt das von mir eingetragene Beispiel von Wikipedia nicht sogar die Voraussetzungen für Teilaufgabe iii) zu zeigen?

Wenn ich dort nur die p.d. Elemente vereinige, sind alles Vereinigungen wieder in D. Wenn ich nun aber bspw. { 3 , 4 } u { 1 , 4 } wie in einer Sigma-algebra bestimme, erhalte ich { 1 , 3 , 4 }  und diese Menge liegt im Beispiel nicht in M.
Aber wie müsste man jetzt A1 und A2 wählen, damit das auch für die Menge D funktioniert?


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 09:02

Ich sehe gerade, dass wir noch den Tipp bekommen haben, es über ein Lebesguemaß zu probieren, wobei gelten muss, dass $λ_{1}(A)$=0 sein muss für ein bestimmtes A, hiermit komme ich aber auch nicht weiter...

Oder ist die Aufgabe hier bspw. auf die Cantormenge aus, diese hatte ich nämlich schon mal in einer anderen Aufgabe als Gegenbeispiel nennen können?


cool97
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Dabei seit: 23.11.2020
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Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 11:43

@PrinzessinEinhorn

Muss die Aufgabe nun abgeben, ist aber nicht schlimm, dass mir der letzte Teil fehlt.

Vielen Dank Dir für deine Hilfe und vor allem für deine Erklärungen und deine Geduld, die Thematik ist mir auf jeden Fall viel klarer geworden!

Viele Grüße


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.44, eingetragen 2020-11-25 15:02

Das tut mir leid, dass du die Aufgabe nun unvollständig abgeben musstest, nachdem wir solange damit verbracht haben.

Wie man hier ein anständiges Gegenbeispiel angibt, weiß ich leider immer noch nicht, habe aber auch noch nicht weiter darüber (oder über den Tipp) nachgedacht.

Wenn du später eine Lösung präsentiert bekommst, freue ich mich, wenn du sie hier teilst. :)


cool97
Aktiv
Dabei seit: 23.11.2020
Mitteilungen: 28
Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 16:11


Hatte gerade die Übung und mein Übungsleiter hat einfach nur darüber argumentiert, dass D nicht schnittstabil ist und somit keine Sigma-algebra vorliegt, aber dies auch nicht weiter durch ein Beispiel o.ä. belegt... 🙄


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.46, eingetragen 2020-11-25 16:19

Hmm, da müsste ich mal drüber nachdenken. Aber aktuell habe ich wenig Zeit.
Vielleicht später... xD


Ansonsten wissen andere Mitleser vielleicht mehr.


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
Beitrag No.47, eingetragen 2020-11-26 20:01

Huhu zusammen,

Sind $A_k\in\mathcal{A_k}$ mit $A_k\notin\{\emptyset, \Omega_k\}$ so sind $B_1 = A_1 \times \Omega_2$ und $B_2 = \Omega_1 \times A_2$ Elemente von $D$, nicht aber $B_1 \cap B_2 = A_1 \times A_2$. Also ist das Dynkin-System nicht durchschnittstabil und somit keine $\sigma$-Algebra.

lg, AK.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
Beitrag No.48, eingetragen 2020-11-26 20:13

Danke.

Wobei ich mich gerade frage, warum ich mich so habe von der Vereinigung verleiten lassen, ohne mal an den Schnitt zu denken...




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Druckdatum: 2021-03-01 05:29