Forum:  Relationen und Abbildungen
Thema: Zeigen, dass P eine Partition von M ist
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stanger
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Dabei seit: 24.11.2020
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Themenstart: 2020-11-24 16:33

Hallo,

ich bin gerade echt am verzweifeln mit dieser Aufgabe hier:

Sei M eine Menge. Eine Teilmenge P von Pow(M) heißt Partition von M, falls gilt:
• ⋃A∈P A = M und
• für alle A, B ∈ P mit A ≠ B gilt A ∩ B = ∅
Sei die Relation R ⊆ M × M wie folgt definiert:
(x, y) ∈ R ⇔ es gibt ein A ∈ P mit {x, y} ⊆ A

Gegeben ist eine Äquivalenzrelation R auf
M. Sei Ax = {y ∣ (x, y) ∈ R}. Zeigen Sie, dass P = {Ax ∣ x ∈ M} eine Partition von M
ist.

Da in den Folien meines Profs und in der Vorlesung nicht einmal das Wort Partition fällt stehe ich gerade ein bisschen auf dem Schlauch. Auch Internet-Recherche hat mir nicht wirklich weiter geholfen.
Wie soll ich an diese Aufgabe herangehen?

MfG


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24 16:37

Hallo,


Da in den Folien meines Profs und in der Vorlesung nicht einmal das Wort Partition fällt stehe ich gerade ein bisschen auf dem Schlauch.

Der Begriff wird hier in der Aufgabenstellung eingeführt.

Eine Partition ist eine Zerlegung einer Menge in dijunkte Mengen, deren Vereinigung der ganze Raum ist.

Zum Beispiel wären die Mengen $\{1\}, \{2\}, \{3\}$ eine Partition von $\{1,2,3\}$. Aber auch $\{1,2\}, \{3\}$. Hingegen ist $\{1,2\}, \{2,3\}$ keine Partition dieser Menge.



stanger
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Dabei seit: 24.11.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 15:04

Danke dafür, ich hab das Prinzip von der Partition verstanden und konnte die Aufgabe auch lösen. Ich bin nun aber bei der nächsten Teilaufgabe angelangt:

Geben Sie ein Beispiel an. Spezifizieren Sie eine Äquivalenzrelation R
und die zugehörige Partition P.
An sich scheint die Aufgabe ja nicht sonderlich schwer zu sein, jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich da rangehen soll.

MfG


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25 15:14

Die Aufgabe besteht wohl darin, dass du dir eine beliebige Äquivalenzrelation auf einer Menge ausdenkst, und dann die Partitionen angibst.

Nach dem Aufgabenteil davor weißt du, dass eine Äquivalenzrelation eine Partition ist. Das ist das wichtigste Resultat über Äquivalenzrelationen.

Es liegt jetzt an dir da ein Beispiel anzugeben.
Wie 'schwierig' das ist, hängt auch von dir ab.

Am einfachsten ist es eine Äquivalenzrelation anzugeben, wenn man sich einfach darauf besinnt, wie eine Relation eigentlich definiert ist.

Normalerweise werden Relationen aber durch die definierende Eigenschaft angegeben.
Zum Beispiel sowas: $x,y\in\mathbb{R}$ stehen in Relation, wenn $|x-y|\geq 2$. (Warum ist das keine Äquivalenzrelation?)

Dann ist es nicht so einfach eine Äquivalenzrelation anzugeben. Auch wenn es ziemlich triviale gibt.

Beispiele für Äquivalenzrelationen hast du bestimmt schon kennengelernt. Davon könntest du eine passende nehmen, oder du besinnst dich eben auf die Definition. Was aber auch relativ langweilig ist.

Am lehrreichsten ist es wohl, wenn du beides machst.

Jetzt habe ich viel geschrieben. Grundsätzlich ist diese Aufgabe aber einfach zu bewältigen.


stanger
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Dabei seit: 24.11.2020
Mitteilungen: 4
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 15:52

Wäre dies ein gültiges Beispiel?:

Sei R die zweistellige Relation R ∈ Pow(M x M)
Dann ist {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)} eine Äquivalenzrelation  auf die Menge M={a,b,c}
Eine Partition wäre dann {a,b} und {c}

So ähnlich steht es im Buch drin, jedoch leuchtet mir das nicht wirklich ein. Das kann doch nicht reichen, oder?


PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25 16:16

Welches Buch benutzt du?

Ein ganz billiges Beispiel wäre wenn du eine Menge mit einem Element $a$ nimmst, und dann darauf die Äquivalenzrelation die nur aus (a,a) besteht.
'Gleichheitsrelation' (was meine ich damit) ist auch ein einfaches Beispiel.

Was verstehst du an deinem Beispiel nicht?


stanger
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Dabei seit: 24.11.2020
Mitteilungen: 4
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 16:28

2020-11-25 16:16 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:

Was verstehst du an deinem Beispiel nicht?

Habe ich eben etwas blöd formuliert. Ich verstehe das Beispiel, aber wäre das schon eine Lösung für die Aufgabe?


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25 16:41

Was verlangt denn die Aufgabe von dir?
Liefert dein Beispiel das verlangte?




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Druckdatum: 2021-03-06 02:31