Forum:  Ringe
Thema: Einheitengruppe des Potenzreihenrings
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NameWarVergeben
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Dabei seit: 17.05.2020
Mitteilungen: 38
Themenstart: 2020-11-25 15:28

Hallo,

ich versuche gerade folgendes zu zeigen:

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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3093
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25 15:36

Hallo,

$a_0 $ ist doch definitionsgemäß (wie alle $a_k$)aus $R$. Irgendwie verstehe ich deine Frage nicht.

Es muss $a_0\cdot b_0=1$ gelten. Zusätzlich muss $\displaystyle \sum_{k=0}^ma_kb_{m-k}=0$ für alle $m>0$ gelten. Dann ist
\[
\left(\sum_{k=0}^\infty a_kX^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^\infty b_kX^k\right) = 1
\]
Du hast bisher: Wenn $f$ eine Einheit in $R[[X]]$ ist, dann ist auch $a_0$ eine Einheit in $R$ (und eben auch in $R[[X]]$). Wie zeigst du, dass wenn $a_0$ eine Einheit in $R$ ist, $f$ eine Einheit in $R[[X]]$ ist?


NameWarVergeben
Aktiv
Dabei seit: 17.05.2020
Mitteilungen: 38
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 11:37

Hallo,

ja die Frage war etwas dumm formuliert aber es hat sich schon geklärt.

Habe versucht die Rückrichtung zu beweisen aber es noch nicht geschafft.
Hast du vielleicht einen Tipp?


MfG


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3093
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26 12:26

Wenn du das Inverse $\displaystyle g=\sum_{k=0}^\infty b_kX^k$ von $\displaystyle f=\sum_{k=0}^\infty a_kX^k$ suchst, kannst du die $b_m$ irgendwie rekursiv definieren. Wie genau?


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5461
Herkunft: Berlin
Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-27 14:55

Alternative zum Koeffizientenvergleich: Indem man mit $-a_0^{-1}$ durch multipliziert, läuft es ja darauf hinaus, folgendes zu zeigen: jede Potenzreihe der Form $1 - Xp$ (mit irgendeiner Potenzreihe $p$) ist invertierbar. Dafür kann man sich der geometrischen Reihe bedienen:

$\displaystyle (1-Xp)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} p^k X^k $

Das ist zumindest erst einmal nur die Idee. Aber man kann leicht davon überzeugen, dass die rechte Seite tatsächlich wohldefiniert ist (was den Koeffizienten von $X^k$ angeht, werden nur endlich viele Terme summiert; das ist gerade die $X$-adische Vollständigkeit von $R[[X]]$ übrigens), und tatsächlich zu $1-Xp$ invers ist.




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Druckdatum: 2021-03-03 02:43