Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Dichte einer Verteilung bestimmen
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julian2000P
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Dabei seit: 25.10.2020
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Themenstart: 2020-11-27 21:52

Hallo zusammen,

kann mir jemand mit einem Ansatz zu folgendem Übungsbeispiel weiterhelfen?

Wir betrachten die ZG $U$ und $V$ die beide unabhängig und stetig gleichverteilt auf $(0,1)$ sind. Ich soll nun die Dichte der Verteilung von (X,Y) bestimmen, wobei
$X:= \sqrt{-2 \log{U}} \cos(2\pi V)$ und $Y:= \sqrt{-2 \log{U}} \sin(2\pi V)$

Ich wäre über einen Hinweis, wie ich hier am besten anfangen soll, sehr dankbar.


qzwru
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Dabei seit: 24.09.2013
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27 22:36

Hallo julian2000P,

betrachte den Diffeomorphismus
$f:(0, 1)^2 \to \mathbb R^2 \setminus \{(x, 0):\, x\geq 0 \}$, $f(u, v) := \begin{pmatrix} \sqrt{-2 \log(u)} \cos(2\pi v) \\ \sqrt{-2 \log(u)} \sin(2\pi v) \end{pmatrix}$.

Sei $\tilde B \in \mathcal B(\mathbb R^2)$ und $B := \tilde B \setminus \{(x, 0):\, x\geq 0 \}$. Dann ist $\mathbb P((X, Y) \in \tilde B) = \mathbb P( (U, V) \in f^{-1}(B))$. Nun verwende die Verteilung von $(U,V)$ und den Transformationssatz für Integrale.

(Wenn aus der Vorlesung eine Transformationsformel für Dichten bekannt ist, kannst du diese auch direkt verwenden.)


julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 83
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27 22:38

Hallo qzwru,

danke für die rasche Rückmeldung. Werde mich an dem Ansatz mal versuchen.


qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 390
Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27 22:40

Gerne, ich hab unter meinen Beitrag noch einen kleinen Zusatz in Klammern geschrieben der dir das Leben ggf. etwas leichter macht.


julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 83
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27 23:46

Hallo nochmal,

hat alles super funktioniert, habe nun als Dichte (falls ich mich beim Ableiten und der Determinante nicht verrechnet habe)

$|\det{df^-1}| = e^{-x^2-y^2} \frac{\pi}{2}$

erhalten. Danke nochmal!


qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28 09:31

Das kann nicht stimmen, deine Funktion ist nicht normiert:
$\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2 -y^2} \, \mathrm d \lambda_2(x, y) = \Big(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, \mathrm d x \Big)^2 = \pi$.

Ich habe die Dichtefunktion von $\mathcal N(0, E_{2})$ als Ergebnis, d.h. die Dichte ist bei mir
$\mathbb R^2 \to [0, \infty)$, $(x, y) \mapsto \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2 + y^2)/2}$.


julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 83
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28 09:46

Ja danke, habe den Fehler schon gefunden.




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Druckdatum: 2021-03-08 16:09