Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Konvergenz von (n!/(n^n))*2^n
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Rapha00
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2020
Mitteilungen: 23
Themenstart: 2020-12-05 21:23

Guten Abend,

ich habe momentan folgende Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob folgende Reihe konvergent ist:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \cdot 2^n\]

Der Grenzwert der Reihe ist nicht wichtig, ich muss nur entscheiden ob sie überhaupt konvergiert.

Ich bin mittlerweile dazu gekommen (durch Wolfram Alpha), dass die Reihe konvergiert. Wolfram Alpha sagt mir, dass dies laut dem Quotientenkriterium der Fall ist, wenn ich dies jedoch zeigen möchte komme ich durch viel Rechnerei auf folgendes:

\[\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2 \cdot (\frac{n}{n+1})^n \]
Wenn ich jedoch den Grenzwert bilde

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{2 \cdot (\frac{n}{n+1})^n}\]
divergiert diese Reihe.

Wo habe ich meinen Fehler oder gibt es vielleicht einen sinnvolleres Ansatz?

Vielen Dank für die Hilfe!

Viele Grüße,
Raphael


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1952
Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05 21:29

Huhu Raphael,

herzlich willkommen auf dem Planeten!

2020-12-05 21:23 - Rapha00 im Themenstart schreibt:
Wenn ich jedoch den Grenzwert bilde

Was erhältst du denn für ein Grenzwert?

Gruß,

Küstenkind


Rapha00
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2020
Mitteilungen: 23
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 21:33

Nabend,

vielen Dank!

In dem Fall leider gar keinen, weil die Reihe ja divergiert..

Viele Grüße,
Raphael


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1952
Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05 21:36

Ich meinte diesen Grenzwert:

2020-12-05 21:23 - Rapha00 im Themenstart schreibt:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{2 \cdot (\frac{n}{n+1})^n}\]

Gruß,

Küstenkind


Rapha00
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2020
Mitteilungen: 23
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 21:40

Ja, genau den meinte ich auch 😁

Hier sieht man es auch ganz gut: Wolfram Alpha.

Viele Grüße,
Rapha


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1952
Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-05 21:45

Huhu Rapha,

Du sollst nicht die Reihe darüber berechnen - sondern nur den Grenzwert bilden! Hoffentlich kommt denn dort ein Ergebnis kleiner als 1 raus. Lies nochmal nach:

de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Gruß,

Küstenkind


Rapha00
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2020
Mitteilungen: 23
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 22:07

Also habe ich es sogar richtig aufgeschrieben und nur falsch gemacht..? 🙃

Ich dachte ich müsste dann auch den Grenzwert einer Reihe von

\[|\frac{c_{n+1}}{c_n}|\]
bilden und nicht nur den Grenzwert des Ausdrucks aber wenn ich genauer darüber nachdenke, macht das natürlich keinen Sinn..

Vielen Dank!

Dann gilt:

\[ \lim\limits_{n\to \infty} 2 \cdot (\frac{n}{n+1})^n = \frac{2}{e} < 0 \]
Also ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent. Ist mein Ergebnis von \[\frac{2}{e}\] auch richtig?

Liebe Grüße,
Rapha


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1952
Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-05 22:13

Ja - \(2e^{-1}\) ist richtig. Das ist aber nicht kleiner als Null (da hast dich nur verschrieben).

Viel Spaß hier weiterhin und noch einen schönen Abend!

Gruß,

Küstenkind


Rapha00
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2020
Mitteilungen: 23
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 22:17

Alles klar, vielen Dank für die schnelle Hilfe und einen schönen Abend noch!

Viele Grüße,
Rapha




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Druckdatum: 2021-03-04 01:26