Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Bestimmung von Gewichten in alternativer Lagrangedarstellung
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Tamref
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Themenstart: 2021-01-15 19:30

Meine Aufgabe ist die folgende:
Gegeben \(n+1\) Interpolationsstellen \(x_j,f_j\) und die alternative Darstellung

\[p(x)= \prod_{j=0}^n (x-x_j) \cdot \sum_{k=0}^n \frac{w_k}{x-x_k}f_k \]
bestimme den Faktor \(w_j\).

Setze ich die alternative Darstellung mit der Lagrange Darstellung gleich komme ich auf folgendes:

\[\sum_{j=0}^n f_j \prod_{k=0,k\neq j}^n \frac{x-x_k}{x_j-x_k} = \prod_{j=0}^n (x-x_j) \cdot \sum_{k=0}^n \frac{w_k}{x-x_k}f_k \\
\Leftrightarrow
\sum_{j=0}^n f_j \prod_{k=0,k\neq j}^n \frac{x-x_k}{x_j-x_k} \cdot
\frac{1}{\prod_{j=0}^n (x-x_j)} =  \sum_{k=0}^n \frac{w_k}{x-x_k}f_k \\
\Leftrightarrow
\sum_{j=0}^n \frac{f_j}{x-x_j} \prod_{k=0,k\neq j}^n \frac{1}{x_j-x_k}  =  \sum_{j=0}^n \frac{f_j}{x-x_j}w_j \]
Weiter komme ich nicht, ich kann ja die Summen nicht einfach kürzen außerdem wäre selbst wenn ich das könnte \(w_j\) auch von \(k\) abhängig.

Hat jemand ne Idee wie ich weiter umformen kann?

PS: Ich hab nicht immer ganz sauber umgeformt und manchmal der Leserlichkeit/Vergleichbarkeit halber die Idizes gewechselt. Ich hoffe es ist trotzdem verständlich.

VG Tamref


StefanVogel
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16 07:20

Hallo Tamref,
bei so großen Summen ist eine zusätzliche Klammer um das, worüber summiert wird, übersichtlicher. Dann entsteht nicht mehr so leicht der Eindruck, dass die Summen einfach gekürzt werden können.


\(\displaystyle
\sum_{j=0}^n \left(\frac{f_j}{x-x_j} \prod_{k=0,k\neq j}^n \frac{1}{x_j-x_k} \right)  =  \sum_{j=0}^n \left( \frac{f_j}{x-x_j}w_j \right) \)

Weiter braucht auch nicht umgeformt werden. Was muss man für \(w_j\) einsetzen, damit das Gleichheitszeichen gilt?

Viele Grüße,
  Stefan


Tamref
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16 09:51

Auf den ersten Blick denkt man, dass man
\[w_j=\prod_{k=0,k\neq j}^n \frac{1}{x_j-x_k} \] setzen kann.

Doch mir erscheint es als ob man dann ja implizit genau so kürzen würde, wie man es nicht darf, wie du richtig angemerkt hast. Daher habe ich angenommen, dass ich einen "Umformungstrick" nicht sehe und ich solange umformen müsste bis ich auf einer Seite wirklich \(w_j\) zu stehen habe.

VG Tamref


StefanVogel
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17 08:29

Es ist schon richtig, dass man sich nach gefundener Lösung nochmal die Umformungsschritte anschaut. Als stark vereinfachtes Beispiel nehme ich die Gleichung 3x=wx. Da kann man auch nicht das x einfach so kürzen, sondern muss eine Fallunterscheidung machen. Die Lösung lautet w=3 für x ungleich Null und bei x=0 ist b beliebig. In deiner Aufgabe wird aber nur ein geeignetes w gesucht und nicht die vollständige Lösungsmenge. Da reicht es, w=3 zur Probe einzusetzen, 3x=3x, gleicher geht nicht. Also im Rechenweg dürfen Fehler drin sein noch und noch, hauptsache die Rechenprobe stimmt und dort müssen dann alle Umformungen zulässig sein.



Tamref
Aktiv
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17 11:44

Das erscheint mir schlüssig!

Vielen Dank für die Erklärung.




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Druckdatum: 2021-04-18 00:51