Forum:  Vektorräume
Thema: Orthogonales Komplement
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Gengar
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Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 53
Themenstart: 2021-01-18 12:51

Hallo liebes Matheforum,

eine Frage bezgl. des orthogonalen Komplements.


Sei \(\text{U}\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^n\) ein Untervektorraum.

Gibt es stets ein orthogonales Komplement \(\text{U}^\perp\)? Wenn ja, ist diese eindeutig bestimmt?



th57
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 44
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18 19:42

Hi Gengar,

Das kommt darauf an, bezüglich was du das orthogonale Komplement bestimmen willst, da du jedoch nichts dazu schreibst nehme ich, du meinst bezüglich dem/einen Skalarprodukt, dann schau doch hier nach:
de.wikipedia.org/wiki/Komplement%C3%A4rraum#Komplement_eines_Untervektorraums

LG


Gengar
Aktiv
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 53
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18 20:17

So wie ich das verstanden habe, sind Komplementärraum und orthogonales Komplement also zwei Paar Schuhe.

Den Orthogonalraum zu einem Unterraum U von R^n gibt es immer, der dann die Dimension dim(n)-dim(U) hat, ist das richtig?


Gengar
Aktiv
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 53
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18 20:20

Und ich meinte bzgl dem Standardskalarprodukt. Das würde mich übrigens auch mal interessieren, sieht der Orthogonalraum von U bzgl eines anderen Skalarproduktes anders aus?


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5562
Herkunft: Berlin
Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-19 00:42

Ja, es gibt immer ein orthogonales Komplement, weil man es einfach hinschreiben kann (Unterraum aller Vektoren, die orthogonal zu dem Unterraum sind). Und bei endlich-dimensionalen Räumen mit einem Skalarprodukt ist es auch immer ein Komplement im Sinne der linearen Algebra (bei unendlich-dimensionalen Räumen sieht es anders aus). Deine Aussage zur Dimension ist auch richtig. Dass das orthogonale Komplement von der Wahl des Skalarproduktes abhängig ist, kannst du dir anhand von Beispielen klarmachen: Jede symmetrische positiv-definite Matrix $A \in M_n(\IR)$ induziert ein Skalarprodukt

$\langle x,y \rangle_A := x^T A y$

auf $\IR^n$. Ein konkretes Beispiel für eine solche Matrix ist

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(die Eigenwerte sind $1,3$), hier ist das Skalarprodukt auf $\IR^2$ also

$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2) \rangle_A = 2 x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + x_1 y_2 + x_2 y_1.$

Hier gilt $\langle (1,0),(1,-2) \rangle_A = 0$, was beim Standardskalarprodukt nicht gilt. Das orthogonale Komplement von $\mathrm{span}((1,0))$ ist bezüglich $\langle - , - \rangle_A$ gleich $\mathrm{span}((1,-2))$.




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Druckdatum: 2021-04-23 09:56