Forum:  Dynamik der Punktmassensysteme
Thema: Elastischer Stoß von zwei Teilchen
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Math_user1
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Dabei seit: 13.01.2021
Mitteilungen: 3
Themenstart: 2021-01-19 13:09


Aufgabe:

Wir betrachten den vollkommen elastischen Stoß zweier Teilchen mit Masse \( m_{1} \) bzw. \( m_{2} \). Die Geschwindigkeiten vor dem Stoß seien \( \vec{v}_{1}=v_{1} \vec{e} \) bzw. \( \vec{v}_{2}=v_{2} \vec{e}, \) nach dem \( \operatorname{StoB} \vec{u}_{1}=u_{1} \vec{e} \) bzw. \( \vec{u}_{2}=u_{2} \vec{e}, \) wobei \( \vec{e} \) ein Einheitsvektor ist.

Drücken Sie \( u_{1} \) und \( u_{2} \) durch \( m_{1}, m_{2}, v_{1} \) und \( v_{2} \) aus. Spezialisieren Sie die resultierenden Gleichungen für den Fall, dass
(a) die beiden Massen gleich sind;
(b) wir im Schwerpunktsystem sind.

Mein Ansatz wäre, dass es zweckmäßig ist, die Erhaltungssätze so umzuschreiben, dass auf der einen Seite der Gleichung alle Größen von Teilchen 1 und auf der anderen Seite alle Größen von Teilchen 2 stehen. Allerdings weiß ich nicht, wie man das weiter ausführt.
Könnte mir jemand weiterhelfen bitte?

Danke!


Sandrob
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Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 114
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19 14:40
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Math_user1,

Dein Ansatz geht auf jeden Fall in eine gute Richtung. Wir haben ja mit dem Energieerhaltungssatz gegeben:
$\frac{1}{2}m_1\vec{v_1}+\frac{1}{2}m_2\vec{v_2}=\frac{1}{2}m_1\vec{u_1}+\frac{1}{2}m_2\vec{u_2}$

Nun kann man diese Gleichung mit $2$ multiplizieren und dann wie du schon erwähnt hast alle Variablen mit Index $1$ auf die eine Seite und die Variablen mit Index $2$ auf die andere Seite bringen. Dies gibt uns folgende Gleichung:
$m_1(\vec{v_1}^2-\vec{u_1}^2)=m_2(\vec{v_2}^2-\vec{u_2}^2)$. Danach benutzen wir eine der binomischen Formeln und finden:
$m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})(\vec{v_1}+\vec{u_1})=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})(\vec{v_2}+\vec{u_2})$. Mit dem Impulserhaltungssatz wissen wir folgendes:
$m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})$.

Nun teilen wir die vorletzte Gleichung durch die letzte Gleichung und finden folgenden Zusammenhang zwischen den 4 Geschwindigkeiten:

$\vec{v_1}+\vec{u_1}=\vec{v_2}+\vec{u_1}$
Diese letzte Gleichung lösen wir nun nach $\vec{u_2}$ auf und setzen sie danach in folgende (eben schon gesehen, folgt aus Impulserhaltung) Gleichung ein: $m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})$.

Ab hier muss man nur noch die Variablen richtig umstellen und nach $\vec{u_1}$ auflösen, Dasselbe Spiel kann man danach noch für die Geschwindigkeit $\vec{u_2}$ wiederholen.

Für deine Frage (a) kannst du nun in die gefundenen Formeln einfach $m=m_1=m_2$ einsetzen und wirst folgendes finden: $\vec{u_2}=\vec{v_1}$ und $\vec{u_1}=\vec{v_2}$.
\(\endgroup\)

MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2727
Herkunft: Werne
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-19 16:48

Hallo zusammen,
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)2021-01-19 14:40 - Sandrob in Beitrag No. 1 schreibt:
Danach benutzen wir eine der binomischen Formeln und finden:
$m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})(\vec{v_1}+\vec{u_1})=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})(\vec{v_2}+\vec{u_2})$. Mit dem Impulserhaltungssatz wissen wir folgendes:
$m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})$.

Nun teilen wir die vorletzte Gleichung durch die letzte Gleichung und finden folgenden Zusammenhang zwischen den 4 Geschwindigkeiten:
\(\endgroup\)
Das geht nicht. Du kannst ein Skalarprodukt nicht durch einen Vektor teilen, um den anderen Vektor zu erhalten. Es führt hier nur deshalb zum Ziel, weil sich alle Massen längs einer Achse bewegen sollen, weil allen kraft der Aufgabenstellung die gleiche Richtung entlang desselben Einheitsvektors $\vec e$ vorgegeben wird, wir also eigentlich einen zentralen Stoß vorliegen haben - den man auch ohne Vektoren berechnen könnte.
Wenn der Stoß dezentral wäre, und nur dann macht die Berechnung mit Vektoren wirklich Sinn, funktioniert die Division nicht.

Ciao,

Thomas


Math_user1
Neu
Dabei seit: 13.01.2021
Mitteilungen: 3
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22 10:57

Hallo, vielen Dank für die Tipps!

Okay, also wenn das mit den Vektoren nicht geht wie du gesgat hast, wie muss das verbessert werden?




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Druckdatum: 2021-04-20 19:26