Forum:  Geometrie
Thema: Existenz eines orthogonalen Kreises
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JensFuchsberger
Junior
Dabei seit: 04.03.2020
Mitteilungen: 7
Themenstart: 2021-01-19 20:29

Guten Tag,
ich habe folgendes Problem und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Ich soll beweisen, dass es für 2 verschiedene Punkte auf dem Einheitskreis (die 2 Punkte sind nicht kollinear mit der 0) einen eindeutigen zum Einheitskreis orthogonalen Kreis gibt. Mir reicht denke ich die Existenz, die Eindeutigkeit sollte danach kein Problem mehr sein. Ich habe aber absolut keine Idee, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.

Falls jemand am Hintergrund interessiert ist: Es geht um das Poincare Kreismodell und ein Theorem besagt, dass zwei verschiedene Punkte auf dem Einheitskreis zum Träger einer eindeutigen h-Geraden (h-line) gehören. Ich arbeite mit dem Buch "The Non-Euclidean, Hyperbolic Plane".

Liebe Grüße
Jens


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6550
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19 20:33

Hallo,

in den beiden Schnittpunkten müssen dann die verlängerten Radien des ersten Kreises zu diesen Punkten gleichzeitig Tangenten an den zweiten Kreis sein. Bedeutet: du kennst von diesem Kreis zwei Punkte und in diesen Punkten die Tangenten. Das reicht für die Eindeutigkeit...


Gruß, Diophant


JensFuchsberger
Junior
Dabei seit: 04.03.2020
Mitteilungen: 7
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 21:29

Danke dir für die schnelle Antwort. Wobei die Eindeutigkeit ja nicht mein Problem war. Brauche eher einen Tipp zur Existenz..


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6550
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19 21:37
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Existenz ist doch da serienmäßig mit dabei. Nochmal:

(1) Wir haben einen Kreis und auf diesem zwei Punkte, die mit dem Mittelpunkt nicht kollinear sind.
(2) Wir denken uns die beiden Kreisradien zu diesen Punkten. Diese bilden wegen (1) (und weil es zwei verschiedene Punkte sein sollen) einen Winkel \(0<\alpha<180^{\circ}\).
(3) Da der zweite Kreis den ersten rechtwinklig schneiden soll, sind die beiden Radien Tangenten an den gesuchten Kreis (falls es ihn gibt).
(4) Wir haben jetzt: zwei Punkte und zwei Tangenten in diesen Punkten. Die Lote auf die Tangenten in den Punkten schneiden sich im Mittelpunkt des gesuchten Kreises. Der Schnittpunkt existiert wegen \(0<\alpha<180^{\circ}\).
(5) Damit haben wir die Existenz und die Eindeutigkeit.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

JensFuchsberger
Junior
Dabei seit: 04.03.2020
Mitteilungen: 7
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 22:05

Vielen Dank für die schnelle Hilfe, jetzt kann ich deine Idee nachvollziehen.

Gruß Jens




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Druckdatum: 2021-04-18 00:41