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Thema: Abschätzung Wegintegral
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EuskiPeuski712
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Themenstart: 2021-01-20 00:15

Hallo liebe Gemeinde :D

Ich hänge etwas an folgender Frage:

fed-Code einblenden

Würde mich über Ideen, Verbesserungen, etc. freuen :)


Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20 00:29

Deine Schreibweise von $M$ suggeriert (und das Argument danach benötigt es sogar), dass $M$ nicht von $z$ und nicht von $R$ abhängt. Zwar hängt $M$ nicht von $z$ für die hier relevanten $z$ ab (wegen $ |z|=R$), aber von $R$ hängt es sehr wohl ab.


EuskiPeuski712
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 00:37

Das ist tatsächlich noch ein guter Hinweis. Denkst du, der Rest dürfte trotzdem hinhauen ?

Inwiefern kann man das ganze mit der Windungszahl interpretieren?
Nach meiner Meinung würde das ganze ja bedeuten, dass der Weg den Punkt 0 nicht umläuft, egal wie groß der Radius des Weges gegeben ist. Oder ?


Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20 01:45

2021-01-20 00:37 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2 schreibt:
Denkst du, der Rest dürfte trotzdem hinhauen ?

Schau dir doch einmal an, was passiert, wenn du $M$ als $M(R)$ bezeichnest (es hängt eben von $R$ ab) und ob dein Argument noch durchgeht.

Ich würde die Aufgabe so angehen, dass ich $p(z) = (z-u)(z-v)$ mit $u,v \in \IC$ schreibe. Für $u \neq v$ (und das ist der "generische Fall") kann man dann die Partialbruchzerlegung
 
$\displaystyle\frac{1}{(z-u)(z-v)} = \frac{1}{u-v} \left(\frac{1}{z-u} - \frac{1}{z-v}\right)$
 
machen und bekannte Wegintegrale anwenden. Dann sieht man auch, wie die Windungszahlen ins Spiel kommen. Ich bezweifle allerdings, dass der*die Aufgabensteller*in das im Sinn hatte, weil hier keine Abschätzungen vorkommen.


EuskiPeuski712
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 08:12

Vielleicht stelle ich mir das zu einfach vor, bzw. hab vielleicht auch irgendwo einen kleinen Denkfehler, aber ich dachte folgendes:

fed-Code einblenden


Hab ich da vielleicht einen Fehler eingebaut ?

Deine Variante habe ich tatsächlich auch schon durchprobiert, bzw. noch eine andere Möglichkeit, für die ich allerdings keine Abschätzung benötigt habe, was mich etwas irritiert hat und wie du schon sagst, nicht unbedingt im Sinne der Aufgabe ist ^^

Vielleicht ist das Ziel aber wirklich diese Partialbruchzerlegung. Wobei ich mir ehrlich gesagt nicht sicher bin, ob wir eben anwenden können, dass das Polynom zerfällt. Mir ist klar, dass das im Bereich der komplexen Zahlen so ist, aber den Satz haben wir nie bewiesen und auch nicht im Rahmen dieser Vorlesung besprochen. Daher ist das eine formelle Sache ^^


Triceratops
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-20 20:42

Selbstverständlich darfst du in einer Vorlesung über Funktionentheorie verwenden, dass $\IC$ algebraisch abgeschlossen ist. Das ist fundamental. Außerdem braucht man hier auch nur das Wurzelziehen (pq-Formel usw.), und eine Wurzel von $r \exp(it)$ kann man konkret hinschreiben.

Ja, es gilt $M(R) \sim R$ für große $R$, jetzt musst du das nur noch mit dem Integral hier in Verbindung bringen.




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Druckdatum: 2021-04-23 15:28