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Thema: Integral berechnen mit Residuensatz?
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jessejames
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
Mitteilungen: 9
Themenstart: 2021-01-23 12:11

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral
\(
\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}
\)
für \( a>1 \)

Mein Ansatz wäre, zu zeigen, dass \( \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}, \) und dann
den Residuensatz anwenden.
Was meint ihr? Wie würde man hier weiter verfahren, um das zu lösen?


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3833
Herkunft: Raun
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24 09:52

Hallo jessejames,
wenn du es schaffst, die Substitution zu zeigen, dann ist Residuensatz anwenden die richtige Fortsetzung. Ich habe es bis jetzt nicht geschafft, will es aber nochmal versuchen.

\(z=e^{2i\phi}\)

\(\operatorname{d}z = 2i e^{2i\phi} \operatorname{d}\phi\)

\(\dfrac{1}{z^2+az+1} = \ldots???\ldots\)

Viele Grüße,
  Stefan


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1986
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24 11:10

Huhu Stefan,

es ist für \(a>1\): \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}\). Mit \(z=e^{i\varphi}\), \(\dd \varphi=\frac{\dd z}{iz}\) und \(\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\) folgt dann \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}\).

Gruß,

Küstenkind


jessejames
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
Mitteilungen: 9
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25 23:54

Okay, super, danke euch für die Hilfe! Werde ich mal so anwenden!




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Druckdatum: 2021-04-18 01:38