Forum:  Strukturen und Algebra
Thema: De Rham Kohomologie-Algebra
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mappingmoe
Junior
Dabei seit: 01.09.2020
Mitteilungen: 20
Themenstart: 2021-01-23 22:27

Hey Leute,
eine Aufgabe an welcher ich gerade sitze lautet wie folgt:
"Sei \(M\) eine Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass \(\wedge:\Omega^k(M)\otimes\Omega^l(M)\rightarrow\Omega^{k+l}(M)\) eine wohldefinierte Abbildung \(\wedge:H^k_{dR}(M)\otimes H^l_{dR}(M)\rightarrow H^{k+l}_{dR}(M)\) liefert"

Um das zu zeigen, müsste ich (falls ich die Aufgabe richtig verstehe) zeigen, dass für das Wedge-Produkt zweier Kohomologieklassen \([\omega]\in H^k_{dR}(M)\) und \([\eta]\in H^l_{dR}(M)\) (ich bin mir nicht ganz sicher, ob der Begriff so richtig ist :D, ich meine auf jeden Fall die Äquivalenzklassen aus den de-Rham Kohomologien) gilt:  
\[[\omega]\wedge[\eta]\in H^{k+l}_{dR}(M)\] Die de-Rham Kohomologien sind ja als Quotientenräume \(H^k_{dR}(M):=\frac{Z^k(M)}{B^k(M)}\) definiert (Z die geschlossenen, B die exakten Formen), was ja für die Äquivalenzklassen bedeutet, dass jeweils zwei Repräsentanten aus einer Äquivalenz- bzw Kohomologieklasse beide geschlossene Formen sind und sich nur um eine exakte Form unterscheiden.
Meine Idee war nun, dieses Konzept auf das Wedgeprodukt zu übertragen, indem ich als Repräsentanten der Klassen \([\omega]\) und \([\eta]\) jeweils \(\omega\in Z^k(M)\), \(\eta\in Z^l(M)\) und \(\omega+\phi\), \(\eta+\psi\) mit \(\phi\in B^k(M)\) und \(\psi\in B^l(M)\) wähle. Nun will ich zeigen, dass sich \(\omega\wedge\eta\) und \((\omega+\phi)\wedge(\eta+\phi)\) nur um eine exakte Form unterscheiden, \[((\omega+\phi)\wedge(\eta+\psi))-\omega\wedge\eta=\omega\wedge\psi+\phi\wedge\eta+\phi\wedge\psi\;\in B^{k+l}(M)\] Leider weiß ich nicht, wie ich zeigen könnte, dass das ganze eine exakte Form ist.
Ich wäre sehr dankbar für jeden Verbesserungsvorschlag, Tipp oder Ansatz :)
Gruß,
moe


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24 00:22

Es sind zwei Punkte zu zeigen (den ersten hast du nicht erwähnt):

1. $\omega \wedge \eta$ ist geschlossen, also $d(\omega \wedge \eta)=0$. Das folgt aber leicht aus der Leibniz-Regel.

2. Die Kohomologieklasse von $\omega \wedge \eta$ hängt nur von den Kohomologieklassen von $\omega$ und $\eta$ ab. Sprich, wenn $\phi,\psi$ exakte Formen sind, dann unterscheiden sich $(\omega+\phi) \wedge (\eta+\psi)$ und $\omega \wedge \eta$ um eine exakte Form, wie du bereits schreibst. Nun, schreiben wir $\phi=d(\alpha)$ und $\psi = d(\beta)$ mit Formen $\alpha,\beta$ geeigneten Grades. Dann ist die Differenz, wie du bereits gesehen hast, gleich $\omega \wedge d(\beta) + d(\alpha) \wedge \eta + d(\alpha) \wedge d(\beta)$. Das kannst du nun aber mit der Leibniz-Regel unter Beachtung von $d(\omega)=0$, $d(\eta)=0$ umschreiben zu $d(\omega \wedge \beta + \alpha \wedge \eta + \alpha \wedge d(\beta))$.

Abstraktion: Sei $(A,d)$ eine differentiell-graduierte Algebra, also eine graduierte Algebra $A$ mit einer linearen Abbildung $d : A \to A$ mit $d(A_n) \subseteq A_{n+1}$, $d^2=0$ und $d(a \cdot b)=d(a) \cdot b+a \cdot d(b)$. Dann trägt der graduierte Modul $H^*(A,d) := (\ker(A_n \to A_{n+1}) / \mathrm{im}(A_{n-1} \to A_n))_{n \in \IZ}$ die Struktur einer graduierten Algebra.
Abstraktion2: $H^*$ ist ein lax monoidaler Funktor von der Kategorie der differentiell-graduierten Moduln in die Kategorie der graduierten Moduln, und ein solcher Funktor dehnt sich immer auf die Kategorien von Monoidobjekten aus.


mappingmoe
Junior
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Mitteilungen: 20
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24 02:20

Erstmal vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir wirklich sehr weiter!
Zu deinem ersten Tipp:
Das habe ich leider vergessen zu zeigen werde ich auf jeden Fall noch ergänzen. Ich habe stattdessen gezeigt, dass \((\omega+\phi)\wedge(\eta+\psi)\in\Z^{k+l}(M)\), diese Geschlossenheit wäre auch zu zeigen oder?

Die erste Abstraktion habe ich ungefähr verstanden, bei der zweiten bin ich leider etwas aufgeschmissen, trotzdem auch vielen Dank dafür! :)


Triceratops
Aktiv
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24 02:24

Du musst allgemein zeigen, dass für geschlossene Formen $\omega,\eta$ auch $\omega \wedge \eta$ geschlossen ist. Mit der Addition von $\phi,\psi$ hat das nichts zu tun. Du verwechselst oder vermischst hier gerade die beiden Punkte.


mappingmoe
Junior
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24 15:16

Du hast recht, es reicht zu zeigen, dass allgemein das Produkt zweier Repräsentanten aus den Kohomologieklassen weiterhin geschlossen ist, dafür reicht es \(\omega\wedge\eta\) zu betrachten.
Vielen Dank!




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Druckdatum: 2021-04-18 02:12