Forum:  Integration im IR^n
Thema: Parametrisierung, Sphäre, Volumen
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Majazakava
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Themenstart: 2021-01-24 13:49

Hi,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Ich habe die Parametrisierung \[P:]0,2\pi[ \times ]0,\pi[ \to \IR^3 \quad(\varphi,\theta) \mapsto  (cos(\varphi)sin(\theta),sin(\varphi)sin(\theta),cos(\theta))\] einer offenen dichten Teilmenge der Einheitssphäre \(\mathbb{S^2} \subset \IR^3\). \(A\) sei für \(0\le \varphi_1 < \varphi_2 < 2\pi\) und \(0\le \theta_1 < \theta_2 < \pi\) die durch \(\varphi_1\le\varphi\le\varphi_2\) und  \(\theta_1\le\theta\le\theta_2\) beschriebene Teilmenge von \(\mathbb{S^2}\).

Ich soll \(vol_2(A)\) berechnen.

Leider weiß ich nicht, wie ich das machen soll.

Ich habe das Volumen von P ausgerechnet, was kein Problem war, aber weiß auch nicht, ob ich damit arbeiten kann. Mein Problem ist, dass ich noch nicht mal weiß, was mir die Ungleichungen sagen sollen.

Ich bedanke mich im Voraus für die Hilfe.
LG Majazakava


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24 14:30

Hallo Majazakava,

2021-01-24 13:49 - Majazakava im Themenstart schreibt:
Ich habe das Volumen von P ausgerechnet, was kein Problem war,

Was ist denn das Volumen einer Parametrisierung?^^


2021-01-24 13:49 - Majazakava im Themenstart schreibt:
Mein Problem ist, dass ich noch nicht mal weiß, was mir die Ungleichungen sagen sollen.

Du sollst die Menge \[A=\{(\cos(\varphi)\sin(\theta),\sin(\varphi)\sin(\theta),\cos(\theta))\,|\,\varphi_1\leq\varphi\leq\varphi_2,\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\}\] betrachten. Du musst per Definition \[\operatorname{vol}_2(A)=\int_A1\,dS=\int_{[\varphi_1,\varphi_2]\times[\theta_1,\theta_2]}\sqrt{\det(J_P^TJ_P)}\,d\mathcal{L}^2\] berechnen.


Majazakava
Aktiv
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24 22:15

Hallo sonnenschein96,

danke für Deine Hilfe.

Hab's jetzt ausrechnen können.

LG
Majazakava


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 377
Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-25 00:50

Das ist schön, zur Kontrolle nochmal mein Ergebnis: \(\operatorname{vol}_2(A)=(\varphi_2-\varphi_1)(\cos(\theta_1)-\cos(\theta_2))\). Für \(\varphi_1=0,\varphi_2=2\pi,\theta_1=0,\theta_2=\pi\) ergibt sich dann auch die bekannte Formel \(\operatorname{vol}_2(S^2)=(2\pi-0)(\cos(0)-\cos(\pi))=4\pi\).




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Druckdatum: 2021-04-10 15:51