Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Hartshorne, III.2.1
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Saki17
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Themenstart: 2021-02-19 01:51
Hallo, ich beschäftige mich mit der folgenden Aufgabe von Hartshornes Buch. Beim Lösen der Aufgabe habe ich eine Voraussetzung nicht benutzt, was ein Hinweis für Denkfehler sein könnte. Aufgabe. Sei $X:=\mathbb{A}_k^1$ die affine Gerade über einem unendlichen Körper $k$. Seien $P\neq Q\in X$ zwei abgeschlossene Punkte von $X$ und $U:=X\setminus \{P,Q\}$. Man zeigt, dass die Garbenkohomologie $H^1(X,\IZ_U)\neq 0$ ist ($A_V$ bezeichnet die konstante Garbe auf einem Unterraum $V\subset X$ mit Werte $A$). Lösung. Wir können die Kohomologie via "flasque" (ich kenne das deutsche Wort dafür nicht) Auflösungen berechnen. Hier etwa \[ 0\to \IZ_U\to \IZ_X\to i_P\IZ\oplus i_Q\IZ\to 0, \] wobei $i_P\IZ$ und $i_Q\IZ$ die entsprechenden Wolkenkratzer-Garben sind, deshalb flasque; da $X$ irreduzibel ist, ist die konstante Garbe $\IZ_X$ auch flasque. Ferner ist die obige Sequenz exakt, das sieht man indem man die Halme betrachtet. Wende nun den Globalschnitt-Funktor $\Gamma(X,-)$ auf die exakte Sequenz an, dann bekommen wir eine lange exakte Sequenz \[ \ldots\to \IZ\to \IZ\oplus\IZ\to H^1(X,\IZ_U)\to\ldots . \] Da der Homomorphismus $\IZ\to \IZ\oplus\IZ$ nicht surjektiv sein kann, folgt $H^1(X,\IZ_U)\neq 0$. Frage. Ich habe soweit nicht (bewusst) verwendet, dass der Körper $k$ unendlich ist. Gibt es denn Lücken in der obigen Lösung? (Danke fürs Korrekturlesen!)

Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-19 02:23
Dein Beweis ist ok. Vermutlich braucht man die Annahme nur bei Aufgabenteil (b), wo es um Hyperebenen "in allgemeiner Position" geht. Siehe auch https://math.stackexchange.com/questions/1774130/why-do-we-need-the-infinite-field-hypothesis-in-this-cohomology-calculation

Saki17
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19 09:53
Ok, danke (an Teil (b) habe ich noch nicht viel gedacht).



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Druckdatum: 2021-08-05 22:01